2012年 日本数学オリンピック本選 第２問 解答例
実数に対して定義され実数値をとる関数$${f}$$であって、任意の実数$${x, y}$$に対して
$${f(f(x+y)f(x-y)) = x^2 - yf(y)}$$
が成り立つようなものをすべて求めよ。
考え方：
式が簡単になるような代入だけではなく、
２つの異なる代入の仕方で同じ形を作るようにすることが必要ですが、
それ以外は、関数方程式の基本をおさえていればそこまで難はない問題のようです。
解答例出てくる(1)を活用することになりますが、
この中身が$${0}$$かどうかの議論が間違いやすくポイントの一つです。
ミスの無いよう、上手に場合分けしましょう。
解答例：
$${y}$$に$${-y}$$を代入すると、
$${f(f(x-y)f(x+y)) = x^2 +yf(-y)}$$
となり、これと元の式から
$${x^2-yf(y) = x^2 + yf(-y)}$$
となる。よって、
$${y\left(f(y)+f(-y)\right) = 0}$$
であるから、$${y\neq 0}$$に対して$${-f(y) = f(-y)}$$を得る。
元の式で$${x=y}$$とすると、
$$
f(f(2x)f(0)) = x^2 -xf(x) \tag{1}
$$
となる。
(i) $${f(0) = 0}$$のとき、
(1)から$${x^2-xf(x) =0}$$より$${f(x)=x}$$を得る。
これは条件を満たす。
(ii) $${f(0) \neq 0}$$のとき、
元の式で$${y=0}$$とすると
$$
f(f(x)^2) = x^2 \tag{2}
$$
であるから、さらに$${x=0}$$を代入すると
$$
f(f(0)^2) = 0
$$
を得る。
(2)式に$${x=f(0)^2}$$を代入すると$${f(0) = f(0)^4}$$となり、
これと$${f(0) \neq0}$$から$${f(0)=1}$$を得る。
よって$${f(1) = f(-1) = 0}$$も得られる。
逆にある実数$${s}$$について$${f(s) = 0}$$とすると、
(2)に$${x=s}$$を代入して$${f(0) = s^2 = 1}$$より$${s=\pm1}$$となる。
よって、$${x\neq \pm1}$$であれば$${f(x) \neq 0}$$である。
(1)に$${x=1/2}$$を代入すると、
$${f(f(1)f(0)) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}f\left(\frac{1}{2}\right)}$$より
$${f\left(\frac{1}{2}\right) =-\frac{3}{2}}$$を得る。
(2)に$${x=1/2}$$を代入すると
$${f\left(\frac{9}{4}\right) = \frac{1}{4}}$$
を得る。
一方、(1)に$${x=3/2}$$を代入すると、
$${f(f(3)f(0)) = \frac{9}{4} - \frac{3}{2}f\left(\frac{3}{2}\right)}$$
であり、$${x=-3/2}$$を代入すると、
$${f(f(-3)f(0)) = \frac{9}{4} + \frac{3}{2}f\left(-\frac{3}{2}\right)}$$
であるが、$${f(f(-3)f(0)) = f(-f(3)f(0)) = -f(f(3)f(0))}$$であるから、
$$
\begin{align*}
\frac{9}{4} - \frac{3}{2}f\left(\frac{3}{2}\right)&= -\frac{9}{4} - \frac{3}{2}f\left(-\frac{3}{2}\right)\\
\Leftrightarrow \frac{9}{4} - \frac{3}{2}f\left(\frac{3}{2}\right)&= -\frac{9}{4} + \frac{3}{2}f\left(\frac{3}{2}\right)\\
\Leftrightarrow f\left(\frac{3}{2}\right)&= \frac{3}{2}
\end{align*}
$$
となる。これと(2)から$${f\left(\frac{9}{4}\right) = \frac{9}{4}}$$を得るが、
これは$${f\left(\frac{9}{4}\right) = \frac{1}{4}}$$と矛盾する。
よって解はない。
以上より、$${f(x) =x}$$。
コメント：
(ii)で怒涛の代入があるので、読んでいると混乱してくるかもしれませんが、
実際に手を動かしてみると大したことはしていません。
色々な形で矛盾が発生するので、他の示し方もあると思います。
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