2014年 日本数学オリンピック本選 第２問 解答例
$${2^a + 3^b+1=6^c}$$をみたす正の整数の組$${(a, b, c)}$$を全て求めよ。
コメント：
変数が多くて大変そうですが、指数をメインとした整数の方程式のセオリー通り、剰余の評価で一気に絞れます。
剰余の評価において適切な法を選べるかが決め手になりますが、ここは根気強く色々試してみるのが吉でしょう。
解答例：
$${a \geqq 3, c \geqq 3}$$のとき、$${2^a, 6^c}$$は8の倍数である。
よって $${3^b +1 \equiv 0 \text{(mod8)}}$$ となるが、これを満たす正の整数$${b}$$はない。
よって、$${a=1, 2 または c=1,2}$$である。
(i) $${a = 1}$$のとき
左辺$${3^b + 3}$$は3の倍数になるが9の倍数にはならない。
よって$${c=1}$$。このとき$${b=1}$$
(ii) $${a = 2}$$のとき
左辺$${3^b + 4}$$は3の倍数にならないため不適
(iii) $${c = 1}$$のとき
(右辺)=6 になり、等式が成立するのは$${a=1, b=1}$$のときのみ。
（(i)のケースに帰着)
(iv) $${c = 2}$$のとき
与式は$${2^a + 3^b = 35}$$となる。これをみたす$${a,b}$$は
$${(a, b) = (5, 1), (3, 3)}$$
以上をまとめると、答えは
$${(a, b, c) = (1, 1, 1), (3, 3, 2), (5, 1, 2)}$$
こういう、アイディア一発モノは、気づくかどうか時の運な気もします。
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