2009年 日本数学オリンピック本選　第１問 解答例

$${8^n+n}$$が$${2^n+n}$$で割り切れるような正の整数$${n}$$をすべて求めよ。

公益財団法人　数学オリンピック財団HP 第19回(2009年)JMO本選の問題 (imojp.org)

コメント：

割り切れるような、ですので、素直に割り算すれば問題ありません。
分子に多項式、分母に指数がある形にもっていくことができれば、$${n}$$が大きくなると分母が分子より大きくなるので整数にならないことから、$${n}$$の範囲を絞ることができます。

解答例：

$$
\frac{8^n+n}{(2^n) + n} = (2^n)^2 - n(2^n)+n^2 - \frac{n^3-n}{(2^n) + n}
$$

より、割り切れるためには$${\frac{n^3-n}{(2^n) + n}}$$が整数となる必要がある。
$${\frac{n^3-n}{(2^n) + n}=0}$$となるのは$${n=1}$$であり、これは条件を満たす。
$${\frac{n^3-n}{(2^n) + n}}$$が$${1}$$以上の整数となるとき、$${n^3-n \geqq 2^n + n}$$より$${2\leqq n\leqq 9}$$。
これらを$${\frac{n^3-n}{(2^n) + n}}$$に代入して調べると、整数となるのは$${n= 2, 4, 6}$$
以上より答え$${n=1, 2, 4, 6}$$

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