2006年 日本数学オリンピック本選　第２問 解答例

次の等式をみたす整数$${a, b, c}$$の組が無限個存在するような
整数$${k}$$をすべて決定せよ。
$${(a^2-k)(b^2-k)=c^2-k}$$

公益財団法人　数学オリンピック財団HP 第16回(2006年)JMO本選の問題 (imojp.org)

コメント：

「無限個存在する」という慣れない条件の処理が大変そうです。
逆に条件を満たさない$${k}$$について無限個存在しないこと示すのはどうしたらよいだろう、すごく難しそう、
とか考えながら色々実験してみて、
真実にたどり着けば勝ちです。
多分、自力でたどり着けずに答えを教えてもらうとものすごく悔しいです。

解答例：

左辺で$${b = a+1}$$とすると

$$
\begin{align*}
(a^2-k)(b^2-k) &= (a^2-k)\{(a+1)^2-k\} \\
& = (a^2 - k)(a^2 + 2a +1 -k)\\
 & = a^4 + 2a^3 + (1-2k)a^2 -2ka+k^2 - k\\
 & = (a^2 + a - k)^2 -k
\end{align*}
$$

であるから、元の式は$${b = a+1, c=a^2+a-k}$$とおくと$${k}$$によらずすべての整数$${a}$$に対して成立する。
よって、求める$${k}$$はすべての整数。

私は気づくのにだいぶ時間がかかってしまいました・・・。

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