2020年 日本数学オリンピック本選　第１問 解答例

$${\frac{n^2+1}{2m}}$$と$${\sqrt{2^{n-1}+m+4}}$$がともに整数となるような正の整数の組$${(m, n)}$$をすべて求めよ。

公益財団法人　数学オリンピック財団HP　第30回(2020年)JMO本選の問題 (imojp.org)

コメント：

条件から平方根の中身は平方数になる必要があります。
また、$${n}$$が奇数であることは明らかなので$${2^{n-1}}$$は平方数になります。
複数の平方数が絡む問題の場合、
$${n^2}$$の次の平方数が$${(n+1)^2}$$でありその間に平方数はない
という一見当たり前の事実によって答えを大きく絞れることがよくあります。
以下はこれを活用した解答例です。

解答例：

条件から$${\frac{n^2+1}{2m}}$$は正であり、
この値が整数になるためには$${n}$$が奇数である必要がある。

(i) $${n=1}$$のとき
$${\frac{n^2+1}{2m} = \frac{1}{m}}$$であるから、$${m=1}$$となるが、
$${\sqrt{2^{n-1}+m+4} = \sqrt{6}}$$となるため不適。

(ii)$${n\geqq3}$$のとき
正の整数$${n'}$$を用いて$${n=2n'+1}$$と表せる。
すると、$${\sqrt{2^{n-1}+m+4} = \sqrt{(2^{n'})^2+ m + 4}}$$となる。
この値が整数になることから$${(2^{n'} )^2 + m + 4}$$は平方数となるが、
$${m+4}$$も正の整数であることから、

$$
\begin{align*}
&(2^{n'})^2 + m + 4  \geqq (2^{n'} + 1)^2\\
&\iff m +4  \geqq 2^{n'+1} +1 \\
&\iff m \geqq 2^{n'+1} - 3 \tag{1}
\end{align*}
$$

を得る。
さて、$${\frac{n^2+1}{2m}}$$が正の整数となることから
$${n^2+1= (2n'+1)^2 + 1 \geqq 2m}$$が必要となるが、これと(1)から、

$$
\begin{align*}
& (2n'+1)^2 + 1 \geqq 2m \geqq 2^{n'+2}-6\\
&\Rightarrow n' = 1, 2, 3, 4, 5 \\
&\Rightarrow n = 3, 5, 7, 9, 11
\end{align*}
$$

となる。
この各$${n}$$を$${\frac{n^2+1}{2m}}$$と$${\sqrt{2^{n-1}+m+4}}$$に代入し、
いずれも整数になる$${m}$$を探すと、
条件を満たすのは$${(m, n)=(1, 3), (61, 11)}$$のみである。

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