note連続講義 第0章−1 基礎となる関数
~はじめに~
皆さんこんにちは，lim_sub_r_boyです．今回は前回で第0章−0(ガイダンス)が終わったということで早速，連続講義の方を始めていきます．ここの見出しでは，主に前回の復習について軽く話していきます．と言っても前回は，何かを学習したわけではないのでこの見出しの下に前回の記事を貼り，ここは終わりたいと思います．
~今回の最終目標~
・関数とは何かを理解する．
・$${f(x)=ax^n+bx^{n-1}+cx^{n-2}+･･･+q}$$の様な一般化された関数を考えることができる．
・$${f(x)=ax^2+bx+c}$$について平方完成することができる．
上記が今回の目標です．真ん中の目標が関数についての一般化されたものなので，難しいかもしれないですが1つ目の目標の延長線であると考えればおそらくは大丈夫かなと思います．それでは，頑張っていきましょう！
~関数とは何か~
そもそも関数とは何でしょう？思い返してみると実は小学生の頃からもうすでにその存在を知っていると思います．例えば，比例や反比例がその例と言えるでしょう．小学校のでは以下のように比例を習います．
「ある数が2倍，3倍，･･･されると，もう一方の数も2倍，3倍･･･される」
これを見て「懐かしい」と思う人もいれば，「こんなのやったけ」と思う人もいるかと思います．ですが，これこそ関数の本質なのです．これはあくまでも，比例を例に取ってるのでこの様な言い方になるだけで，中学生で習う$${y=ax^2}$$ではどうでしょう？これはこの様に言うことができます．
「$${x}$$がある数だけ増加すると，$${y}$$はその2乗に比例する」
言葉のレベルは中学生なので上がりましたが，結局は「比例」なのです．
ではここで，質問です．今は，大きく分けて$${y=ax\,,\,y=ax^2}$$について話しましたが，新たな数が入ったらどうでしょう．これは比例になるのでしょうか？例えば，$${y=x+1}$$…答えは，スタート地点が違う比例です．
どういうことでしょう？それについては，グラフを見るとわかります．
青:$${y=x+1}$$
緑:$${y=x}$$
グラフを見ると，この違いに気づくことができると思います．
そうです，$${y}$$軸に関して青のグラフが1だけ上に移動しているのがわかります．青のグラフを一般的に1次関数といい，一般的には以下のように表されます．
$${y=ax+b}$$
~一般化された関数を考える~
この話を始める前に，1つ目の内容をある程度理解できた方は一般化されても問題ないと思います．なぜなら，上で示した関数$${y=ax+b}$$こそが関数の一般化になっているからです．これは少し言い過ぎの様に感じるかと思いますが実際に，~今回の最終目標~の2つ目に似たような事が書かれているからです．そこには，このように書いてあると思います．
$${f(x)=ax^n+bx^{n-1}+cx^{n-2}+･･･+q}$$
これと似ていると思いませんか？そうなんです，似ているんです．それでは，この関数について解説していきたいと思います．まず気になるのは，
$${a\,,\,b\,,\,c\,,･･･,\,q}$$だと思います．これは係数といい，言ってしまえばどの位その関数が急であるかを表しています．次に$${n}$$乗が気になると思います．これは，何次関数であるかを表しています．その後にどんどん引かれていってますが，これは一般的に「この関数の項が何項ありますよ」というのを表しています．
ex) 2次関数：$${ax^2+bx+c}$$
今は2次関数を例に上げましたが，つまりは関数の次数が増えると式自体の項数も1つ増えるというわけです．さらに例えを出すと，3次関数であれば，項数は最大で4項，4次関数であれば最大で5項となります．
この2つ目のラストは，少しレベルアップした内容を届けたいなと思います．それは，目標にもある関数の最後の項にも$${x}$$がいるということです．「本当かよ」と思った方は是非，この話を最後まで読んでいただけたらいいかなと思います．上の関数を以下のように書き換えます．
$${f(x)=ax^n+bx^{n-1}+･･･+qx^{n-n}\\f(x)=ax^n+bx^{n-1}+cx^{n-2}+･･･+qx^0}$$
ここで疑問に思ってほしいのは，$${x^0}$$の存在です．結論としては，「1」というのが答えです．この話は第0章−2で詳しく話すと思いますが，軽く言っておくとすると，ある数$${a^{-n}}$$とは$${\frac{1}{a^{n}}}$$と表すことができ指数法則より，上の$${q^{n-n}}$$を計算すると…
$${q^{n-n}\\=q^n\times\frac{1}{q^n}\\=\frac{q^n}{q^n}=1_{//}}$$
となり，$${q^0=1}$$であることを示すことができました．
関数の最後の$${q}$$のような項を定数項といいます．この，指数の話もかなり深いところまであるので次回に持ち越したいと思います．
~2次関数の一般形を平方完成する~
最後の目標である「平方完成」についてやっていきたいと思います．まずは，平方完成をして何が嬉しいのと言うところを話したいと思います．
結論，2次関数がどこにいるかが平方完成をすることですぐに分かる，と言うところが一番の嬉しいところかなと思います．いきなり，一般化された2次関数で平方完成をするのは重いので，まずは簡単な平方完成をしたいと思います．
[例題]
以下の2次関数を平方完成せよ．
$${y=x^2+4x+1}$$
では，これについて平方完成したいと思います．まずstep1として第2項までで$${(x+a)^2}$$の形ができる形を作ります．今回は簡単な問題なので，すぐに作れると思います．
$${(x+2)^2+1-4\\=(x+2)^2-3}$$
となります．見てわかるように，辻褄合わせをして上手く$${(x+a)^2}$$を作り答えを求めます．非常にやっていることは単純です．なので，次は一般化された式で公式的なものを作っていきたいと思います．これに関しては，少し複雑になるので途中計算等も飛ばさず解いていきたいと思います．
$${ax^2+bx+c\\=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c\\=a(x+\frac{b}{2a})^2+c-(\frac{b}{2a})^2\\\therefore y=a(x+\frac{b}{2a})^2+c-(\frac{b}{2a})^2_{//}}$$
これで一般化された2次関数に関しても平方完成をし，公式化することができた．今回の3つ目の目標はこれが最終的なゴールであったので，これで終わりたいと思います．
~さいごに~
この~さいごに~のところでは，毎回の講義のまとめを書いていきたいなと思います．
今回学んだことは以下のようなことです．
1.関数の本質的な部分を知り，理解した．
2.関数を一般化し，基礎となる関数の理解を深めた．
3.2次関数に関して，平方完成を与えられた式と一般化された式に対して行うことができた．
主なところはこの3つであると思います．この下に演習問題をPDFで配布しますので，そちらを解き知識の定着とそれが応用できるように頑張りましょう!
~ちょっとだけ次回予告~
次回(9月19日)は，「指数と対数」ということで講義をしたいと思います．
また，演習の回答に関してはこの時(第0章−2)にPDFで配布します．指数と対数のときには，少しだけ応用となる「逆関数」というものの説明もしようと考えているので，是非見ていただけたらいいなと思います．
それではまた次回の「note連続講義」でお会いしましょう．
さようなら！