今週の1問 for 高専数学 pt.24

~はじめに~

　皆さんこんにちは，lim_sub_r_boyです．今週はなんか気分が上がっているので2本目の投稿となります．今回も微分方程式の変数分離形を扱います．この投稿で微分方程式を解くのが最近はほとんどなのですが，やっぱり根底にあるのは微分積分なので是非心配な方は復習してみると良いと思います．

~今週の1問~

⬆️今週の1問⬆️

　これか今回挑む1問です．解ける対象は前回同様高専3〜4年，大学1年．
今回からもまた公表のところで解説を載せるのでNotionとどちらが良いか是非コメントしてみてください．今後の投稿作成のヒントとなります．

~問題の公表~

　今回のような問題を見たらもう変数分離形だと3秒で気づくことが重要となります．ここで迷うと最悪の場合問題の解にたどり着けない自体が発生します．では，ここからは問題の解説に入ろうと思います．

~問題の解説~

この式を見たらまず絶対に左辺の第2項目を右辺に移項する．

$${\frac{dy}{dx}=-\frac{2y}{x}}$$

そうしたら続いては変数分離形の形を作るために$${\frac{1}{y}}$$掛ける．

$${\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=-\frac{2}{x}}$$

ここまで来るともうゴールまでは半分！次は両辺をそれぞれ積分する．

$${\int\frac{1}{y}dy=-2\int\frac{1}{x}dx\\\ln|y|=-2\ln|x|+C\\e^{\ln|y|}=e^{-2\ln|x|+C_1}}$$

ここまでは前回とほぼ変わりないですね．$${\log}$$の性質より以下のように変形する．

$${e^{|y|}=e^{\log|x|^{-2}+C_1}\\e^{|y|}=e^{\log|\frac{1}{x^2}|+C_1}}$$

後は前回のように$${|y|=±e^{C_1}=C}$$とすると，最終的に解は，

$${\frac{dy}{dx}+\frac{2}{x}y=0\\\therefore y=\frac{C}{x^2}_{//}}$$

~さいごに~

　今回も読んでくださりありがとうございました．今回も変数分離形を扱いましたが次回以降はもっと違う形のものも扱いますので是非フォローして最新の記事も読んでみてください．
それではまた次回の今週の1問 for 高専数学でお会いしましょう．
さようなら！