[清水量子の解説] 線形代数の解説(無料)

この記事は、私の解説で使う線形代数の説明です。
解析力学については、その都度説明します。

１．ベクトル空間、内積が定義されたベクトル空間

　　　線形代数で言うベクトル
　　　要素を２個以上（無限個でもよい)、持った要素の組で
　　　「和とスカラー倍」が定義されたもの。
　　　高校で言うベクトル「大きさと方向が定義されたもの」というのは
　　　早く忘れて下さい（ノルムや内積、角度は関係ない）

　　　ベクトルには、縦ベクトルと横ベクトルがありますが
　　　とりあえずは、縦ベクトルa を |a>、横ベクトルb は<b| でいいです

　　　ベクトル空間
　　　上記のベクトルにおいて「和とスカラー倍」の操作をすること
　　　で、生成される集合（無限集合)。
　　　「スカラー倍」のスカラーが、実数なら実数体上のベクトル空間Ｒ^n
　　　複素数なら複素数体上のベクトル空間 C^n になります。
　　　https://kafukanoochan.hatenablog.com/entry/2022/08/11/100328

　　　ベクトルの積（内積・直積・テンソル積）
　　　（とりあえず、縦ベクトルaを |a>、横ベクトルbは<b| とすると）
　　　ベクトルv1 に ベクトルv2 を掛ける、内積<v2|v1>、直積|v2><v1|、
　　　テンソル積 |v2>|v1> も、みんな、縦ベクトルを「１列だけの行列」、
　　　横ベクトルも「１行だけの行列」と考えれば、
　　　行列の掛け算と同じことです。
　　　https://kafukanoochan.hatenablog.com/entry/2020/08/17/002049

　　　内積が定義されたベクトル空間
　　　内積といっても、複素数体上のベクトル空間 C^n では、
　　　エルミート内積　を使います。
　　　書き方は、Ｒ^n と同じ <v2｜v1> ですが、v2 の複素共役をとる
　　　ところが違います。
　　　要素が有理数のベクトル空間 Q^2 には、(1,1) や (1,0) は存在し、
　　　その内積は√2 になります。しかし、
　　　内積が同じ√2 になる (1,0) と (ｘ,0) のｘは √2 であり、この (ｘ,0)は
　　　Q^2 の元ではない、つまり、Q^2 には、いっぱい穴があります。
　　　これを「Q^n は完備でない」といいます。Ｒ^n  C^n は、完備です。
　　　完備な内積空間を、ヒルベルト空間といいます。

２．射影演算子

　　　完備な内積空間（ヒルベルト空間）のベクトル |v> , |a> において
　　　|v> 内に占める |a> の成分（平行な成分）を取り出す操作を
　　　射影演算といい、その演算子を射影演算子と呼びます。
　　　|a>の射影演算子は、直積 |a><a| です。　詳しくは ↓
　　　https://kafukanoochan.hatenablog.com/entry/2023/08/27/200914

３．演算子の固有ベクトル、固有空間

　　　普通、ベクトルに演算子が作用したら（行列を掛けたら）
　　　そのベクトルは変わります。
　　　しかし、演算子a が作用しても、あるベクトルが定数倍x にしか
　　　ならない場合、そのベクトルを固有ベクトルと呼びます。
　　　つまり、a |固有ベクトル> = x |固有ベクトル> が成り立つ
　　　ということです（このｘを固有値という）
　　　固有ベクトルの数は、次元の数だけ存在します。無限次元なら∞個
　　　（同じ固有ベクトルになることは、ありますが）
　　　演算子a の固有ベクトルが成す空間を、a の固有空間といいます。
　　　固有空間は、a が作用するベクトル空間の部分空間です。
　　　https://kafukanoochan.hatenablog.com/entry/2022/08/15/081832

４．状態ベクトルと密度行列

　　　これは、線形代数の応用で、線形代数そのものではないですが、
　　　ここで説明します。
　　　物理状態が、ベクトルであらわされる時、純粋状態といいます(通常)
　　　物理状態が２つ以上の異なる純粋状態|v1>、|v2>、、、
　　　のベクトルの和(=ベクトル)で表されれば、重ね合わせ状態といい
　　　これも、純粋状態です。

　　　簡単のために、v1 と v2 の２つからなる場合、ベクトルの直積：
　　　(√a|v1>+√b|v2>)(√a<V1|+√b<v2|)　
　　　で表わすと、
　　　a|v1><v1| + b|v2><v2| + √{ab} ( |v1><v2| + |v2><v1| )　
　　　になります。これは、情報が失われていないので、
　　　元のベクトルの和（純粋状態）と等価です。
　　　それで、一般に、係数√{ab} を c とした（0 ≦ c ≦ √{ab}）
　　　a|v1><v1| + b|v2><v2| + c ( |v1><v2| + |v2><v1| )
　　　のような状態を示す行列のことを 密度行列 といいます。
　　　ここで、aが|v1>である確率、bが|v2>である確率で、a＋b=1 です
　　　https://kafukanoochan.hatenablog.com/entry/2022/08/11/085010

　　　c ＝ √{ab}か、b=0、a=0 なら、ベクトルで表せますから
　　　純粋状態　です。
　　　密度行列で表される状態（0 ≦ c ＜ √{ab}）は、純粋状態より
　　　情報が少ない（失われた）状態です。これを混合状態といいます
　　　特に c＝０の場合：a|v1><v1| + b|v2><v2| は、v1とv2が、
　　　同時に存在する項（干渉項）がなく（つまり干渉成分がなく）
　　　古典的に「v1の状態」と「v2の状態」が混じっている状態
　　　と同じです。これを古典的混合状態といいます。

　　　混合状態は、純粋状態と確率（上記 a や b）が同じでも
　　　他の物理量に対する状態の確率は、違ってきます。
　　　また、混合状態は（古典的混合状態）であっても、空間を十分広く
　　　とれば、純粋状態にできます（ベクトルで表すことができる)