[線形代数] はじめてのベクトル空間

まず、高校での「大きさと方向を持つものがベクトル」というのは
一旦、忘れて下さい。これは「空間ベクトル」というもので、
ベクトル空間にいくつかの概念を追加して、より限定した集合です。

１．ベクトル空間

　　「その中の元の、和(差)をとったり、スカラー倍(スカラーで割る)
　　　したものが、また元にならないといけない」
　　　という集合です。この性質からわかるように
　　　始めから空集合ならダメですが、
　　　始め元が１個であっても、即　無限集合になります。
　　　この点が、中高で習う集合とは違います。中高で習う集合は、
　　　何かのもっと大きな集団から、条件をつけることにより
　　　範囲を定めます（定義する）
　　　それで、ベクトル集合と呼ばず、ベクトル空間と呼ぶ
　　　のだと思います。
　　　１個の元や部分集合を示して、それからベクトル空間を創る時
　　　「ベクトル空間を張る」といいます。

２．ベクトル空間の定義

　　　体ｋに対し、集合Vが、ｋ上のベクトル空間であるとは、
　　　　　(1)　任意のu,v ∈V　に対し　u＋v ∈V
　　　　　(2)　任意のu ∈V、任意のa∈ｋ　に対し　a・u ∈V
　　　　　(3)　空集合でないこと
　　　　　ただし、上記の　和とスカラー倍は、以下を満たしていること
　　　　　u,v,w ∈V, a,b ∈k に対し、
　　　　　u＋v ＝ v＋u　　　　　　　。。。和の交換則
　　　　　(u＋v)＋w ＝ u＋(v＋w)　　。。。和の結合則
　　　　　u＋０＝０＋u＝u　　 　　。。。和での０∈V の存在
　　　　　(a・b)・w ＝ a・(b・w)　　。。。スカラー倍の結合則
　　　　　(a＋b)u ＝ a・u＋b・u　　。。。スカラー倍の分配則
　　　　　a(u+v) ＝ a・u＋a・v　　 。。。スカラー倍の分配則
　　　　　１a＝a１∈V　　　　　　。。。単位元１の存在
　　　　　０a＝a０＝０　　　　　。。。０∈V の存在
　　注：ベクトルどうしの積や除算(逆元の存在)は要求されない
　　　　（ベクトルの内積が定義されたものが内積空間）
　　　　空集合でなければ、０∈V が証明できる

３．ベクトル空間の例

　　　①　実数を成分とするN次の列か行のベクトル全体
　　　　　これを　Ｒ^N と書く（複素数ならＣ^N と書く）
　　　②　普通のN次の多項式全体
　　　③　区間(a, b)で連続な関数全体