ベクトルが矢印とは限らない
どうも、NASAに開発されていそうな白井です。
さて、今回からベクトルとテンソルの話です。
テンソルの概念は、材料力学で初めて知りました。
「応力テンソル」
と言われても初めは全然ピンと来ずに、
「ベクトルと何が違うんだろう」
「何で行列と言わずにテンソルと言うんだろう」
と、疑問が渦巻いていろいろ調べているうちに、相対性理論でもテンソルが出てくることを知り、ますます訳が分からなくなった経験があります。
なので、その辺の話を整理したものを共有したいと思います。
テンソルを理解するには、まずはベクトルの基本を押さえる必要があるので、ベクトルの基本的な話からです。
●ベクトルの一般化
高校でベクトルが出てきたときは、
「方向を持った量」
と定義したと思います。しかし、これは
「方向」というものが定義できる空間
を前提としているのであって、その空間とは何かと言うと、
「ユークリッド空間」に他ならない
わけです。
実は、数学で「空間」というのは、
「ある集合が作り出す広がり」
くらいの意味しかなく、
「方向」はおろか「大きさ」さえも定義されている保証はない
のです。線形代数の教科書を見てみても、ベクトルが「方向を持つ」なんていう定義はされてなくて、
「線形空間の元（要素）」
として定義されているのです。簡単に言うと、スカラー"a, b"、ベクトル"x, y"に対して、
(a+b)(x+y) = ax + bx + ay + by
といったようなことができる空間を「線形空間」と言って、その元で、
ある"x, y"という「ベクトル」を定義
しているわけです。（ほんとはもっといろいろな決まりがあって、
「和とスカラー倍の公理」
と呼ばれます。）
上の計算を見て、
「なんだ、当たり前のことじゃないか」
と思う人もいるかもしれません。それは我々の今まで行ってきた計算が、
これが当たり前に思えるくらい、「線形性」を前提とする
ものばかりに過ぎないからです。
しかしこれだけでは、われわれが「ベクトル」を捕らえる手がかりが何もありません。そこで、
「空間の性質」として「向き」や「大きさ」を定義する
のです。（その定義の仕方は、詳しくは
を見てみてください。とっても見にくくてお勧めです。）
それだけベクトルというものの概念は、抽象的であるのです。つまりベクトルというのは、いわば
「2つ以上のカテゴリの情報を持つもの」
であり、
図形的には「向き」と「大きさ」
が定義できるものとなります。
次回は、ベクトルの表示方法の違いについて考えてみます。