中学受験算数　必須知識【完全数】

【問題１　都立大泉高等学校付属中】

２８はその約数から２８自身を除いた数をすべて足すと２８になります。そのような数を２８以外で１つあげなさい。

今回は、「完全数」と呼ばれる有名問題であり、知っておくと１分程度で解けます！

完全数とは

完全数とは、ある整数が、その数を除くすべての約数を足した数に等しくなる数のことです。
完全数の例として以下の３つは覚えておくことをお薦めします。
６ (=１＋２＋３)
28(=１+２+４+７+14)
496(=１+２+４+８+16+31+62+124+248)

【解説】
今回は、完全数の知識を知らない前提で、小さい順に確かめていきます。
６の約数は１と２と３と６で、６を除いたものを足すと６＝１+２+３となるので正解は６となります。

完全数に関する問題は、他の中学でも出題されているので紹介します。

【問題２　出題校：富士見丘中学】

次の例のように、ある整数がその数をのぞくすべての約数をたした数に等しくなる数を「完全数」といいます。このとき、次の問いに答えなさい。
＜例＞
６の約数は、１、２、３、６で、１+２+３=６となり、６は完全数です。
また、８の約数は、１、２、４、８で、１+２+４=７となり、８をのぞくすべての約数をたした数が８にならないので、8は完全数ではありません。
⑴２けたの完全数を答えなさい。
⑵496は完全数であることを確かめなさい。

【解説】
⑴素数は明らかに完全数ではない（素数は１とその数しか約数がないため、その数をのぞくと１になります）のでそれ以外でさがしてみます。
素数以外で小さい順に探していくと・・・、
１+２+４+７+14＝28より、28が正解です。
※28が完全数であることを知っておけば一瞬です！

⑵496 の約数は１、２、４、８、16、31、62、124、248、496。
496をのぞいたすべての約数をたすと496になるので、496は完全数である。

【問題３　出題校：栄東中学】

１から10までの整数Aの約数のうち、A以外の約数の和を［A］とします。
たとえばA＝８とすると、［８］＝１+２+４＝７となります。ただし、［１］＝０とします。
このとき［A］＝Aとなる整数Aを求めなさい。

【解説】
A以外の約数の和［A］＝Aとなる整数を求めるので、完全数に関する問題です。
１桁の完全数を答えればよいので、正解は６となります。

【問題４　出題校：海城中学（一部省略）】

整数ｎについて、ｎのｎを除く約数の和を [ｎ] で表すことにします。
例えば、６の６を除く約数は１、２、３なので、[６]=１+２+３=６です。また、[１]=０とします。
（１）[1]、[2]、[3]、[4]、[5]、[6]、[7]、[8]、[9]、[10]の平均を求めなさい。
（２）[ｘ]=１となる整数ｘの中で、100に最も近い整数を求めなさい。

【解説】
（１）[1]=0、[2]=1、[3]=1、[4]=1+2＝3、[5]=1、[6]=6、[7]=1、[8]=1+2+4＝7、[9]=1＋3＝4、[10]=1+2+5＝8

これらの和は32となり、平均は32÷10＝3.2

（２）[ｘ]=１ということは、素数のことであると気づきましたか？
（１）の[2]=1、[3]=1、[5]=1、[7]=1もヒントになっています。
100付近の素数をさがすと、97と101があります。
そして、100に最も近いのは101ですので、正解は101となります。

最後に

いかがでしたか。
前回に引き続き、有名問題を紹介しました。
中学受験の算数では有名な問題が多数出題されており、有名問題には明確な解法があるケースが多いです。
解法を正確に暗記することで、本番でも確実に得点が見込めるため、この機会に是非身に付けてください。