統計検定準1級ワークブック例題 第4章
統計検定準1級ワークブック（以下WB）の「第4章 変数変換」の例題について書いていきます。
解答例はいろんな動画や記事で紹介されていると思うので、ここでは思考のプロセスというか考え方のヒントを書いていきます。本記事が同資格を受験する方のお役に立てば幸甚です。
問4.1
1変数の場合の変数変換の問題です。解き方が2通りあって、後述の解法メモに書いている方法は面倒な方法です…。
後から気づいたのですが、正規分布のモーメント母関数を暗記しておけば、$${M(t)=E[e^{tx}]=exp(μt+\frac{1}{2}σ^2t^2)}$$となって、
t=1とすると$${M(1)=E[e^{x}]=exp(μ+\frac{1}{2}σ^2)=E[Y]}$$となり、
(1)の解答にたどり着けます。
ただしいきなりこれを覚えるのではなく、やはり最初は愚直に計算していって繋がりを理解して、「導出できるけど公式使ってパパっと解くか」ぐらいまでの鍛錬は必要かと思います。「置換積分」や「ガウス積分」などを使うので計算は正直しんどいですが…。
なお、(2)では指数の計算にも慣れておくといいでしょう。
(3) $${f(y)=\frac{f(x)}{|g'(x)|}}$$として、xをyに置き換えることがポイントです。
問4.2
2変数の場合の変数変換の問題です。Z=X+Y、W=Yと置いて、
$${f(z, w)=\frac{f(x)f(y)}{|J(x, y)|}}$$まで持っていって、xとyをzとwに置き換えるのがポイントです。
f(z, w)が求まったら、それをwで積分すると、zの確率密度関数が求まります。「第2章 確率分布と母関数」で出てきた周辺確率密度関数ですね。
ヤコビアン$${|J(x, y)|}$$は、まあそういうものとして覚えておきましょう。
解法メモ
解法メモはご自身で納得のいくように作成されることをおススメします。参考までに私が作成した解法メモを貼っておきますが、間違っている可能性もありますので、あくまでもご参考までということでお願いします。
おまけ
この章の例題は難しいです。パッと覚えられるような魔法はなく、やはり何度も何度も繰り返して身につけていくしかありません。
WB本文についての記事はこちらです。
また、以下にまとめ記事を書いております。こちらもお役に立てば幸いです。