高校教科書の背理法だけが唯一の証明じゃない

こんにちは。最近というかずっと、お昼は卵かけご飯です。I Love T.K.G.

今日は数学に関して、

みなさんは背理法という言葉を人生で一度は聞いたことがあるかもしれません。

背理法、それは直接証明することが難しい証明に対して、いかにもひねくれてるヤンキーや、今風に言うとギャップ萌えしてしまうツンデレのように、直接的に証明しないすなわち、間接照明。いやちがう、そんなスポットが当たらない脇役のような感じでもない。でも、立派に証明方法として成り立つ「間接証明」というものに分類される。

背理法は難しい。証明方法としては矛盾を導き出すという、まあ、矛盾が出てくればいいよね。ってかんじで証明を進めていく。矛盾が出れば、仮定が間違ってたんだ。だから仮定は間違いだとして、結論を導く。

高校生で使うとなると、あまりにも形式的に、形だけをまねして証明する。実際、ここは背理法を使うと感じるのは勘でしかにように思える。

例えば、「√2が無理数であることを証明せよ。」はどのように証明するか。

ある生徒は、”証明せよって言われているから、√2が無理数であることはすでに証明されてる。”てきなことを書く。

また、別の生徒は「√2が有理数であると仮定して、、、」と背理法のお手本のような解答をするだろう。

実は、ご存知の方もいらっしゃると思うが、教科書で示されている解法はあくまでも一例である。高校生にとってはこれが一番簡単であろうと載っているだけにすぎない。

（証明）
√2が無理数であることは、互いに素な自然数p、qでp/q＝√2（有理数）とすることで、二乗するとp、qが互いに共通因数をもつことで矛盾を導くことができる。□

さらには、無限降下法というものもある。

（証明）
ある自然数p、qを用いて√２＝p/qで表されるとする。そうすると2(q^2)=p^2となることから、p=2q_1となるq_1となる自然数が存在する。すると、q^2=2(q_1)^2となり、q=2p_1となる自然数p_1が存在する。この操作から、p>p_1、q>q_1、が分かる。これを繰り返すと、p>p_1>p_2>・・・、q>q_1>q_2>・・・、となり無限回続けることが出来る。だが、自然数が最小数をもつことから、これは矛盾する。よって、√2は無理数である。□

さらに、これは背理法ではないですが素因数2の偶奇に着目して証明する方法です。

（証明）
任意の自然数p、qを用いて、2(p^2)、q^2の素因数2に着目すると、左辺と右辺の2で割れる回数は、それぞれ奇数階と偶数回になるので、一致しない。よって、2(p^2)≠q^2となり、√2p≠q。
√2≠p/qとるので、√2は有理数ではない。すなわち、√2は無理数である。□

上記の方法のように、証明方法は多様です。教科書で教えることが正しいとせず、自分たちで証明を見つけていく過程も、時間があれば取り入れるべきでしょう。

あまり、証明の有用性は理解されがたく、特に、背理法は形式的に陥りやすいです。今一度、背理法で証明できる素晴らしさを生徒に伝え、一緒なって背理法の良さを考えてみてもいいかもしれません。