解いてみよう！整数・計算問題集②
前回の続きですね。TeXはじめて使ってみたので、なかなかに時間がかかってしまいました…慣れておきたいところです。
そんなことは置いておいて、問題に挑戦してみてくださいね！
問題
問題11
$${a,b,c,d}$$が,
$${a+b+c+d=4}$$
$${a(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d})+b(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d})+c(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{d})+d(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})=-14}$$
をともに満たすとき,$${\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}}$$を求めよ.
[2019年 灘高校]
問題12
$${a^3+b^3=217}$$を満たす整数組$${(a,b)}$$をすべて求めよ.
[2005年 京都大学]
問題13
$${x^2-y^2+4x+2y=6}$$ かつ $${x-y≥0}$$ であるとき整数組 $${(x,y)}$$ をすべて求めよ.
[自作問題]
問題14
1足すと平方数になるような素数をすべて求めよ.
[自作問題]
問題15
10を足しても10をかけても平方数となる最小の正の整数を求めよ.
[2023年 JMO予選]
問題16
$${n^3-3n+9}$$ が素数となるような $${n}$$ をすべて求めよ.
[2018年 京都大学]
問題17
以下の値は有理数である.これを既約分数の形で表せ.
$${\sqrt{\dfrac{123!-122!}{122!-121!}}}$$
[2024年 JMO予選]
問題18
互いに素な正の整数$${m,n}$$が$${m+n=90}$$を満たすとき,積$${mn}$$としてありうる最大の値を求めよ.
[2021年 JMO予選]
問題19
$${3^{9471}}$$ を 10進数で表したときの1の位の数を答えよ.
[2002年 関西大学]
問題20
2以上の整数$${m,n}$$は$${m^3+1^3=n^3+10^3}$$ を満たす.$${m,n}$$を求めよ.
[2009年 一橋大学]
解答
※必ずしも解法が最もシンプルなものであるとは限りません.
問題11
答え：$${\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}=-\dfrac{5}{2}}$$
$${a(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d})+b(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d})+c(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{d})+d(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})=-14}$$
左辺に $${4=\dfrac{a}{a}+\dfrac{b}{b}+\dfrac{c}{c}+\dfrac{d}{d}}$$ ,右辺に4をそれぞれ足して
$${(a+b+c+d)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d})=-10}$$
$${a+b+c+d=4}$$ を代入して,
$${\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}=-\dfrac{5}{2}}$$
問題12
答え：$${(a,b)=(9,8)(-8,-9)(1,-6)(6,-1)}$$
$${a^3+b^3}$$ を因数分解すると$${(a-b)(a^2+ab+b^2)}$$,217を素因数分解すると$${31×7}$$である.また$${a^2+ab+b^2=(a+\dfrac{1}{2}b)^2+\dfrac{3}{4}b^2}$$より$${a^2+ab+b^2≥0}$$である.これらのことから,
$${(a-b,a^2+ab+b^2)=(1,217)(7,31)(31,7)(127,1)}$$
ここで,$${(a-b,a^2+ab+b^2)=(m,n)}$$と置いてみると,
$${b=a-m}$$より,$${a^2+a(a-m)+(a-m)^2=n}$$よって
$${3a^2-3am+m^2-n=0}$$という$${a}$$についての２次方程式が得られる.これをもとに,$${(a-b,a^2+ab+b^2)=(1,217)(7,31)(31,7)(127,1)}$$を考えていく.
$${(a-b,a^2+ab+b^2)=(1,217)}$$の場合
$${a^2-a-72=0,(a-9)(a+8)=0}$$より,a=9,-8
よって,$${(a,b)=(9,8)(-8,-9)}$$
$${(a-b,a^2+ab+b^2)=(7,31)}$$の場合
$${a^2-7a+6=0,(a-1)(a-6)=0}$$より,a=1,6
よって,$${(a,b)=(1,-6)(6,-1)}$$
ここで$${a}$$についての方程式$${3a^2-3am+m^2-n=0}$$の解が実数解であるときの$${m,n}$$の条件を考えると,判別式より
$${D=-3m^2+12n≥0}$$であることから$${12n≥3m^2}$$である必要があるとわかる.よって,$${(a-b,a^2+ab+b^2)=(31,7)(127,1)}$$は実数解をもたないため考えなくてよい.
以上のことから$${(a,b)=(9,8)(-8,-9)(1,-6)(6,-1)}$$
問題13
答え：$${(a,b)=(4,-4)}$$
$${x,y}$$でそれぞれ平方完成してまとめみると,$${(x+2)^2-(y-1)^2=11}$$,$${(x+y+1)(x-y+3)=11}$$となる.$${x-y≥0}$$つまり$${x-y+3≥3}$$であるから,$${(x+y+1,x-y+3)=(1,11)}$$のパターンだけ考えればよい.よって$${(x,y)=(4,-4)}$$のみが答えである.
問題14
答え：3
平方数を$${n^2(n≥1)}$$素数を$${p}$$と置くと,$${p+1=n^2}$$という等式ができる.少し整理すると$${p=(n-1)(n+1)}$$となる.$${n^2(n≥1)}$$であるから,$${(n-1,n+1)=(1,p)}$$のみ考えればよい.よって,$${n=1}$$これをもとの式に代入すると$${p=3}$$となる.
問題15
答え：90
問題の内容をまとめると$${10a=b^2,10+a=c^2(b,cは自然数)}$$ここでいう$${a}$$とは求める数のことである.$${10a=b^2}$$から$${b}$$は10の倍数であることが分かるから,$${b=10d}$$と置く.よって,$${a=10d^2}$$である.これを$${10a+c^2}$$に代入して$${10(1+d^2)=c^2}$$でよって,$${c}$$は10の倍数であることが分かるから,$${c=10e}$$と置く.よって、$${1+d^2=10e^2}$$.これを満たす最小のdは3である.これをもとに$${a}$$をもとめると90であり,これは条件を満たしている.
問題16
答え：$${n=2,1,-3}$$
因数分解も不等式でも絞り込めなさそうなため余りの数で絞り込んでいく.
以降,便宜上$${f(n)=n^3-7n+9}$$として計算する.
$${f(-3)=3,f(-2)=15,f(-1)=15,f(0)=9,f(1)=3,f(2)=3,f(3)=15}$$
となることから,$${f(n)}$$に整数を入れるとすべて3の倍数になるのではないかと予想できる.$${f(n)}$$に$${3k,3k+1,3k+2}$$を代入して予想が正しいか示してみる.
$${f(3k)=27k^3-21k+9=3(9k^3-7k+3)}$$
$${f(3k+1)=27k^3+27k^2-12k+3=3(9k^3+9k^2-4k+1)}$$
$${f(3k+2)=27k^3+54k^2+15k+3=3(9k^3+18k^2+5k+1)}$$
と,いずれも3の倍数であることから,$${f(n)=3}$$の方程式を解くことで解が求められる.
$${n^3-7n+6=(n-2)(n-1)(n+3)=0}$$より,答えは$${n=2,1,-3}$$
問題17
答え：$${\dfrac{122}{11}}$$
$${\sqrt{\dfrac{123!-122!}{122!-121!}}=\sqrt{\dfrac{123×122×121!-122×121!}{122×121!-121!}}=\sqrt{\dfrac{121!×(123×122-122)}{122!×(122-1)}}=\sqrt{\dfrac{123×122-122}{122-1}}=\sqrt{\dfrac{122^2}{11^2}}=\dfrac{122}{11}}$$
問題18
答え：2021
$${mn}$$ は$${m}$$と$${n}$$が近い値であればあるほど大きくなる.$${m≥n}$$として考えると,
$${(m,n)=(45,45)}$$ これは$${m=n}$$であるから互いに素ではない.
$${(m,n)=(46,44)}$$ これはそれぞれ偶数であるから互いに素ではない.
$${(m,n)=(47,43)}$$ これは互いに素であるため,$${47×43=2021}$$
問題19
答え：7
3のべき乗について考える
$${3^1=3}$$
$${3^2=9}$$
$${3^3=27}$$
$${3^4=81}$$
$${3^5=243}$$
のように,1の位は3→9→27→1→3→…とループしていることが分かる.
$${9471mod4=3}$$であることから,$${3^{9471}}$$の1の位は7
問題20
答え：$${(m,n)=(12,9)}$$
$${m^3+1^3=n^3+10^3,m^3-n^3=(m-n)(m^2+mn+n^2)=999}$$
999を素因数分解すると,$${37×3^3}$$となる.
ここで,$${m^2+mn+n^2}$$について考えてみると,
$${m^2+mn+n^2=(m+\dfrac{1}{2}n)^2+\dfrac{3}{4}n^2}$$よって,
$${(m-n,m^2+mn+n^2)=(1,999)(3,333)(9,111)(27,37)(37,27)(111,9)(333,3)(999,1)}$$
$${m≥2,n≥2}$$のため,$${m^2+mn+n^2≥12}$$であるから,
$${(m-n,m^2+mn+n^2)=(1,999)(3,333)(9,111)(27,37)(37,27)}$$
$${m≥2,n≥2}$$のため,$${(m^2+mn+n^2)-(m-n)^2=3mn≥12}$$であるから,
$${(m-n,m^2+mn+n^2)=(1,999)(3,333)(9,111)}$$
それぞれ連立方程式を使って求めると,
条件に合った解は$${(m,n)=(12,9)}$$のみである.
ちなみに,$${(m,n)=(12,9)}$$を代入して求められる1729はタクシー数というものですね.
今回紹介した整数問題とその解答が、少しでも役に立ったのであれば嬉しいです。整数問題は、単なる計算だけでなく、論理的思考や創造力を鍛えるためにとても有効です。最初は難しく感じるかもしれませんが、繰り返し解くことで着実に力がついていきます。今後もさまざまな問題に挑戦しながら、自分のペースで学んでいってください。次回も新しい問題を取り上げる予定なので、ぜひまた挑戦してみてくださいね！