【備忘録：量子力学】Wigner関数の時間発展
お久しぶりです、たつきちです！
このNoteではWigner関数の時間発展を計算するときに、つまった箇所を計算した途中式をまとめています。
量子力学系の論文を読みあさっていると、初心者向けのWigner関数の論文に出会したので、基本的にはそれに従っています。
Wigner関数
波動関数$${\psi(t, x)}$$とするとき、Wigner関数は
$$
\begin{align}
W(x, p)
= \int_{-\infty}^\infty {\rm d} \xi e^{-i p \xi/\hbar} \psi(x + \xi/2) \psi^\ast(x- \xi/2)
\end{align}
$$
と書けます。これは密度行列$${\hat{\rho}}$$のWigner-Weyl変換
$$
\begin{align}
W(x, p) \equiv \frac{\tilde{\rho}(x, p)}{2\pi \hbar} = \frac{1}{2\pi \hbar}\int_{-\infty}^\infty {\rm d}\xi \, e^{-ip\xi/\hbar} \braket{x + \xi/2 | \hat{O} | x - \xi/2}
\end{align}
$$
です。これはSchrödinger描像における演算子と位相空間（$${x}$$ - $${p}$$空間）上の関数への変換です。この論文ではWeyl変換と単に言われていますが、修正重力系の分野のWeyl変換（$${g_{\mu\nu} \to \tilde{g}_{\mu\nu} = \Omega^2(x) g_{\mu\nu}}$$）との誤解が生じるため言わないほうがいいのかもしれないですね……。
Wigner関数の時間微分
さて、Wigner関数を微分して時間発展に関する方程式を導きましょう！波動関数の時間微分が現れるということは、Schrödinger方程式
$$
\begin{align}
\frac{\partial \psi(t, x)}{\partial t} = - \frac{\hbar}{2im} \frac{\partial^2 \psi(t, x)}{\partial x^2} + U(x) \psi(x)
\end{align}
$$
を使いそうですね！これを使うことで波動関数の時間微分が空間微分に置き換わるため、Wigner関数の時間発展もまた、空間微分の項が現れることが容易に想像できます。
実際に(1)を時間微分すると
$$
\begin{align}
\frac{\partial W(x, p)}{\partial x}
=
\frac{1}{2\pi \hbar} \int_{-\infty}^\infty {\rm d}\xi\,
e^{-i p \xi/\hbar}
\left[
\frac{\partial\psi(t, x + \xi/2)}{\partial x}\psi^\ast(t, x - \xi/2) \right. \nonumber \\
\left.
+ \psi(t, x + \xi/2) \frac{\partial \psi(t, x - \xi/2)}{\partial x}
\right]
\end{align}
$$
を得ることができます。面倒に計算になりそうですが、(4)に(3)を代入してみます。すると、（係数を除いて）積分は
$$
\begin{align*}
&[{\rm rhs~of~(3)}] \\
&=
\int_{-\infty}^\infty {\rm d}\xi\, e^{-ip\xi/\hbar} \\
&\Bigg[ \bigg(-\frac{\hbar^2}{2im} \frac{\partial^2 \psi(t, x + \xi/2)}{\partial x^2}
+ \frac{1}{i\hbar} U(x+\xi/2) \psi(t, x + \xi/2)\bigg)\psi^\ast(x- \xi/2) \\
&+ \psi(t, x + \xi/2) \bigg(\frac{\hbar^2}{2im} \frac{\partial^2 \psi^\ast(t, x - \xi/2)}{\partial x^2} - \frac{1}{i\hbar} U(x-\xi/2) \psi^\ast(x - \xi/2) \bigg) \Bigg] \\
&=
\int_{-\infty}^\infty {\rm d}\xi\, e^{-ip\xi/\hbar} \\
&\Bigg[
\frac{\hbar^2}{2im}\bigg( \frac{\partial^2 \psi^\ast(t, x - \xi/2)}{\partial x^2} \psi(t, x + \xi/2) - \psi^\ast(t, x - \xi/2) \frac{\partial^2 \psi(t, x + \xi/2)}{\partial x^2} \bigg) \\
&+ \frac{1}{i \hbar} \big( U(x + \xi/2) - U(x - \xi/2) \big) \psi^\ast(x - \xi/2) \psi(x + \xi/2)
\Bigg]
\end{align*}
$$
と書けます。なので、Wigner関数の時間微分は次のように書くことができます：
$$
\begin{align}
\frac{\partial W(x, p, t)}{\partial t}
=
\frac{\partial W_T(x, p, t)}{\partial t}
+
\frac{\partial W_U(x, p, t)}{\partial t}
\end{align}
$$
ここで、$${W_T}$$と$${W_U}$$はそれぞれ
$$
\begin{align}
\frac{\partial W_T(x, p, t)}{\partial t}
&=
\frac{1}{4\pi im } \int_{-\infty}^\infty {\rm d}\xi e^{- i p \xi/\hbar} \nonumber \\
&\bigg(
\frac{\partial^2\psi^\ast(t, x - \xi/2)}{\partial x^2} \psi(x + \xi/2) \nonumber \\
&- \psi^\ast(x - \xi/2) \frac{\partial^2 \psi(t, x + \xi /2)}{\partial x^2}
\bigg) \\
\frac{\partial W_U(x, p, t)}{\partial t}
&=
\frac{1}{2i \pi \hbar^2 } \int_{-\infty}^\infty {\rm d}\xi \, e^{- i p\xi/\hbar} \nonumber \\
&\bigg(
\big[
U(x + \xi/2) - U(x - \xi/2)
\big] \nonumber \\
&\psi^\ast(t, x - \xi/2) \psi(t, x + \xi/2)
\bigg)
\end{align}
$$
としました。まだまだ複雑な形です……。
$${W_T}$$には波動関数とその2階微分の引き算のような項が含まれるので、互いに部分積分することでうまく消去されそうな項が現れそうです。そこで実際に$${W_T}$$に対して部分積分を実行してみましょう：
まず、 (6)の積分の第1項は
$$
\begin{align}
\int_{-\infty}^\infty {\rm d}\xi\, e^{- ip \xi/\hbar}
\frac{\partial^2 \psi^\ast(t, x - \xi/2)}{\partial x^2} \psi(x + \xi/2) \nonumber \\
= - 2 \int^\infty_{-\infty} {\rm d}\xi\, e^{- ip \xi/\hbar}
\frac{\partial \psi^\ast(t, x - \xi/2)}{\partial x \partial \xi} \psi(x + \xi/2)
\end{align}
$$
とできます。ここで、次に示す関係を使いました：
$$
\frac{\partial \psi^\ast(t, x - \xi/2)}{\partial x}
=
\frac{\partial \psi^\ast(u)}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x}
= \frac{\partial \psi^\ast(u)}{\partial u}
$$
と
$$
\frac{\partial \psi^\ast(t, x - \xi/2)}{\partial x}
=
\frac{\partial \psi^\ast(u)}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial \xi}
= - \frac{1}{2}\frac{\partial \psi^\ast(u)}{\partial u}
$$
から、それぞれ比較して
$$
\frac{\partial \psi^\ast(t, x - \xi/2)}{\partial x} = - 2\frac{\partial \psi^\ast(t, x - \xi/2)}{\partial \xi}
$$
という関係で微分する変数を入れ替えました。
(8)の計算に戻りましょう！ここで$${\xi}$$について部分積分を実行すれば
$$
(8)
=
-2 e^{-ip\xi/\hbar} \frac{\partial \psi^\ast(t, x - \xi/2)}{\partial x} \psi(x + \xi/2)\Bigg|_{-\infty}^\infty \\
+
2 \int^\infty_{-\infty}{\rm d}\xi\, \frac{\partial \psi^\ast(t, x - \xi/2)}{\partial x}
\frac{\partial}{\partial \xi} \bigg(
e^{- ip\xi/\hbar} \psi(t, x + \xi/2)
\bigg)
$$
です。ここで無限遠には粒子が存在しないとすれば波動関数$${\psi(t, \pm \infty)}$$は$${0}$$になります。よって(6)の積分の中の第1項は
$$
\int^\infty_{-\infty} {\rm d}\xi\, e^{-ip\xi/\hbar} \frac{\partial^2 \psi^\ast(t, x - \xi/2)}{\partial x^2} \psi(t, x + \xi/2) \nonumber \\
=
- \frac{2ip}{\hbar} \int^\infty_{-\infty} {\rm d}\xi\, e^{-ip\xi/\hbar}
\frac{\partial \psi^\ast(t, x - \xi/2)}{\partial x} \psi(t, x + \xi/2) \nonumber \\
+ \int^\infty_{-\infty} {\rm d}\xi\, e^{-ip\xi/\hbar}
\frac{\partial \psi^\ast(t, x - \xi/2)}{\partial x}
\frac{\partial \psi(t, x + \xi/2)}{\partial x}
$$
となります。これと同様にして(6)の積分の中の第2項を計算すると
$$
\int^\infty_{-\infty} {\rm d}\xi\, e^{-ip\xi/\hbar} \psi^\ast(t, x - \xi/2)
\frac{\partial^2 \psi(t, x + \xi/2)}{\partial x^2} \nonumber \\
=
\frac{2ip}{\hbar} \int^\infty_{-\infty} {\rm d}\xi\, e^{-ip\xi/\hbar}
\psi^\ast(t, x - \xi/2)
\frac{\partial \psi(t, x + \xi/2)}{\partial x} \nonumber \\
+ \int^\infty_{-\infty} {\rm d}\xi\, e^{-ip\xi/\hbar}
\frac{\partial \psi(t, x - \xi/2)}{\partial x}
\frac{\partial \psi^\ast(t, x + \xi/2)}{\partial x}
$$
と似たような式を得ることができます。上記のすぐ2つの式を見比べれば、その第2項は同じなので、引き算すればそれぞれキャンセルします。よって(6)の積分を計算すると結局のところ
$$
\begin{align}
&\int^\infty_{-\infty} {\rm d}\xi\, e^{-ip\xi/\hbar}
\bigg(
\frac{\partial^2 \psi^\ast(t, x - \xi/2)}{\partial x^2} \psi(t, x + \xi/2) \nonumber \\
&\qquad - \psi^\ast(t, x - \xi/2) \frac{\partial^2 \psi(t, x + \xi/2)}{\partial x^2}
\bigg) \nonumber \\
&=
- \frac{2ip}{\hbar} \int^\infty_{-\infty} {\rm d}\xi\, e^{-ip\xi/\hbar}
\bigg(
\frac{\partial \psi^\ast(t, x - \xi/2)}{\partial x} \psi(t, x + \xi/2) \nonumber \\
&\qquad +
\psi^\ast(t, x - \xi/2) \frac{\partial \psi(t, x + \xi/2)}{\partial x}
\bigg)\nonumber \\
&=- 4\pi i p \frac{\partial}{\partial x}
\bigg[
\frac{1}{2\pi \hbar} \int^\infty_{-\infty} {\rm d}\xi\, e^{-ip\xi/\hbar}
\psi^\ast(t, x - \xi/2)\psi(t, x + \xi/2)
\bigg] \nonumber \\
&=
- 4\pi i p \frac{\partial W(x, p, t)}{\partial x}
\end{align}
$$
したがって、(6)は
$$
\begin{align}
\frac{\partial W_T(x, p, t)}{\partial t} = - \frac{p}{m} \frac{\partial W(x, p, t)}{\partial x}
\end{align}
$$
を得ます。すごくスッキリした形になりました。さらには$${\hbar}$$がこの式には含まれていないということも注目すべき点です。
計算が長すぎて忘れてしまうかもしれませんが、(6)の計算が終わっただけで(7)についてはまだ何も考えておりませんでした。(6)の右辺が最終的にWigner関数で書けたので、(7)の右辺も同様にWigner関数で書き表したくなります。では、実際にそれを目指して計算してみましょう。そのためには$${U(x + \xi/2) - U(x - \xi/2)}$$をどうにかして積分の外に出す必要があります。
まずは$${U}$$の中の$${x}$$と$${\xi}$$を分離しましょう。$${x}$$の周りでTaylor展開すると、それぞれ
$$
U(x + \xi/2) = \sum_{n = 0} \frac{1}{n!} \frac{\partial^n U(x)}{\partial x^n} \bigg(
\frac{\xi}{2}
\bigg)^n \\
U(x - \xi/2) = \sum_{n = 0} \frac{1}{n!} \frac{\partial^n U(x)}{\partial x^n} \bigg(
- \frac{\xi}{2}
\bigg)^n
$$
となりますので、引き算すれば
$$
U(x + \xi/2) - U(x - \xi/2)
=
2 \sum_{n = 0} \frac{1}{(2n + 1)!} \frac{1}{2^n} \frac{\partial^{2n+1} U(x)}{\partial x^{2n+1}} y^{2n + 1}
$$
を得ることができます。この計算自体は見た目ほど難しいもではありません。ただ、$${n}$$が偶数の項がキャンセルして、残った$${n}$$が奇数の項をまとめているにすぎません。右辺先頭の$${2}$$という係数もまた、奇数の項の引き算で現れるものです（具体的に3項ほど和をバラして計算してみれば絶対わかります！）。
よって$${W_U}$$は
$$
\begin{align*}
&\frac{\partial W_U(x, p, t)}{\partial t}
= \\
&\frac{1}{2i \pi \hbar^2} \int^\infty_{-\infty}{\rm d}\xi\, e^{-ip\xi/\hbar}
\sum_{n = 0}\frac{1}{(2n + 1)!} \frac{1}{2^{2n}}
\frac{\partial^{2n+1} U(x)}{\partial x^{2n + 1}} y^{2n + 1} \\
&\qquad \times \psi^\ast(t, x - \xi/2)\psi(t, x + \xi/2)
\end{align*}
$$
と書くことができます。$${U}$$の微分と和は積分の外に出すことができるので、積分の中には$${\xi^{2n+1}}$$が残ります。部分積分という方法で計算するという発想もあるかもしれませんが、$${W_T}$$との対応関係を考えると、Wigner関数の位相空間の変数$${x, p}$$による偏微分で表すのが自然です。この気持ちをもとに、よく観察すると
$$
\bigg(\frac{\partial}{\partial p}\bigg)^{2n+1}e^{-i p \xi/\hbar} =
\bigg(-\frac{i}{\hbar}\bigg)^{2n+1} \xi^{2n + 1} e^{-ip\xi/\hbar}
$$
という関係式が見えてきます。あとは愚直に計算するだけで
$$
\begin{align}
&\frac{\partial W_U(x, p, t)}{\partial t}
= \nonumber \\
&\sum_n \bigg(-\frac{\hbar}{2}\bigg)^{2n} \frac{1}{(2n + 1)! } \frac{\partial^{2n + 1} U(x)}{\partial x^{2n + 1}}
\bigg(\frac{\partial }{\partial p}\bigg)^{2n + 1} W(x, p, t)
\end{align}
$$
を得ることができます。
最終的に(10)と(11)を(5)に代入すれば、Wigner関数の方程式
$$
\begin{align}
&\frac{\partial W(x, p, t)}{\partial t}
= \nonumber \\
&- \frac{p}{m} \frac{\partial W(x, p, t)}{\partial x} \nonumber \\
&+
\sum_{n = 0}\bigg(-\frac{\hbar}{2} \bigg)^{2n} \frac{1}{(2n + 1)!}
\frac{\partial^{2n + 1} U(x)}{\partial x^{2n + 1}}
\bigg(\frac{\partial}{\partial p}\bigg)^{2n + 1} W(x, p, t)
\end{align}
$$
を得ることができました！
ポテンシャルの2階微分より高階の微分が0のとき
少しだけ具体例を見てみましょう。タイトルにあるようにポテンシャル$${U(x)}$$の2階より高階の微分が$${0}$$のとき、(12)は次の形になります。
$$
\frac{\partial W(x, p, t)}{\partial t}
=
- \frac{p}{m} \frac{\partial W(x, p, t)}{\partial x} + \frac{\partial U(x)}{\partial x} \frac{\partial W(x, p, t)}{\partial p}
$$
となります。ここで、古典論を思い出して$${\dot{x} = p/m, \dot{p} = - \partial U(x)/\partial x }$$を用いてみると
$$
\frac{\partial W(x, p, t)}{\partial x} \frac{{\rm d} x}{{\rm d}t}
+
\frac{\partial W(x, p, t)}{\partial p} \frac{{\rm d} p}{{\rm d}t}
+
\frac{\partial W(x, p, t)}{\partial t} = 0 \\
\Rightarrow \frac{{\rm d} W(x, p, t)}{{\rm d} t} = 0
$$
とできます。これはまさしくLiouville方程式の形です！
終わりに
今回はWigner関数の方程式を計算してみたので、その備忘録として具体的な計算過程を書いてみました。なにか間違えているところであったり、面白い論文などがあればぜひコメントしてください〜☺️
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