回転と射影で学ぶ線形写像(2 線形変換の性質)
前回(https://note.com/ijuin_sugaku/n/n77e5b2e10bec?sub_rt=share_sb)、2次元ベクトルや3次元ベクトルに対する回転変換と射影変換は線形変換であることを説明しました。線形変換がもつ性質について見ていき、回転と射影について理解を進める準備をしましょう。
線形写像の決定
線形写像がもつ良い性質として、「いくつかのベクトルの移り先が決まってしまえば他のあらゆるベクトルの移り先は自ずと決まる」というものがあります。
このことをいくつかの例を通して見てみましょう。
例1 2次元ベクトル(1)
2次元ベクトルを2次元ベクトルに移す線形写像$${f}$$が$${\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$$を$${\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}}$$に、$${\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}$$を$${\begin{bmatrix}4\\1\end{bmatrix}}$$に移すものとします。
このとき、たとえば$${\begin{bmatrix}2\\5\end{bmatrix}}$$がどのようなベクトルに移るのか計算してみましょう。
ここでポイントになるのは$${\begin{bmatrix}2\\5\end{bmatrix} = 2 \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} + 5 \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}$$と表せることです。
線形写像の性質を使うと
$$
f\left(\begin{bmatrix}2\\5\end{bmatrix}\right) = f\left(2\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} + 5 \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\right) \\ = 2 f\left(\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\right) + 5 f\left(\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\right) \\ = 2\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix} + 5 \begin{bmatrix}4\\1\end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix}26\\9\end{bmatrix}
$$
のように計算できることがわかります。同様にしてどのような2次元ベクトルについても$${f}$$による移り先を計算することができ、
$$
f\left(\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix}3x+4y\\2x+y\end{bmatrix}
$$
となることがわかります。
例2 2次元ベクトル(2)
2次元ベクトルを2次元ベクトルに移す線形写像$${f}$$が$${\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}}$$を$${\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}$$に、$${\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}}$$を$${\begin{bmatrix}3\\-1\end{bmatrix}}$$に移すものとします。このとき、$${\begin{bmatrix}2\\5\end{bmatrix}}$$がどのようなベクトルに移るのか計算してみましょう。
上の例を念頭に置くと$${\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$$と$${\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}$$の$${f}$$による移り先がわかれば、あとは同様に計算できそうです。
この方針は、
$$
-3\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}+5\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\\
2\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}-3\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}
$$
となることを利用するとうまく実現できます。上の式の導き方を簡単に説明しておくと、1つ目の式については、
$$
x\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}
$$
となる、$${x,y}$$を求めればよく、左辺を整理すると、
$$
\begin{bmatrix}3x+2y\\5x+3y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}
$$
となるので連立方程式を解けば$${x=-3, y=5}$$が求まります。2つ目の式についても同様に連立方程式を求めて解けばokです。
この表示を用いれば、
$$
f \left( \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right)= f \left( -3 \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \end{bmatrix} +5 \begin{bmatrix} 2 \\3 \end{bmatrix} \right)\\
= -3 f \left( \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \end{bmatrix} \right)+5 f \left( \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} \right)\\
= -3 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}+5 \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix}\\
= \begin{bmatrix} 12 \\ -11 \end{bmatrix}
$$
$$
f \left( \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right)
= f \left( 2 \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \end{bmatrix} -3 \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} \right)\\
= 2 f \left( \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \end{bmatrix} \right)-3 f \left( \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} \right)\\
= 2 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}-3 \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix}\\
= \begin{bmatrix} -7 \\ 7 \end{bmatrix}
$$
となることがわかります。この結果を用いて例1と同様にするとあらゆる2次元ベクトルに対して$${f}$$による移り先が計算でき、一般には
$$
f\left(\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix}12x-7y\\-11x+7y\end{bmatrix}
$$
となります。
この例では$${\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$$と$${\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}$$を$${\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}と\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}}$$ によって表すことができましたが、このことは一般にはうまくいきません。シンプルな例として$${\begin{bmatrix}2\\0\end{bmatrix}と\begin{bmatrix}5\\0\end{bmatrix}}$$があります。(第2成分は0しか表せないため$${\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}$$を表すことはできません)。
2つの2次元ベクトル$${a,b}$$をこれらの実数倍の和で$${\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$$と$${\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}$$が表せるように選べば例2と同様の手順で$${f(a), f(b)}$$を与えることによってあらゆるベクトルに対する$${f(x)}$$が決定されます。
実はこの$${a,b}$$についての条件は
$${aとb}$$は平行でない。(一方の実数倍で他方を表すことができない)
$${a,b}$$はこれらの実数倍の和であらゆる2次元ベクトルを表せる。
などの条件と同値です。線形代数の一般論の言葉では$${a,b}$$は2次元ベクトル全体からなる空間の基底であるということとも同値です。
例3 3次元ベクトル(1)
3次元ベクトルの場合は
$$
\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} = x\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix} + y \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix} + z\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}
$$
と表せることから
$${\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}}$$,$${\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}$$,$${\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}$$の移る先を与えることで2次元ベクトルのときと同様にあらゆる3次元ベクトルの移り先が定ります。
一つ計算例を見てみましょう。3次元ベクトルを3次元ベクトルに移す線形写像$${f}$$が$${\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}}$$を$${\begin{bmatrix}2\\1\\1\end{bmatrix}}$$に、$${\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}$$を$${\begin{bmatrix}1\\3\\-1\end{bmatrix}}$$に、$${\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}$$を
$${\begin{bmatrix}0\\3\\4\end{bmatrix}}$$に移すものとします。このとき$${\begin{bmatrix}2\\-1\\5\end{bmatrix}}$$がどのようなベクトルに移るのか計算してみましょう。線形写像の性質から
$$
f\left( \begin{bmatrix} 2\\ -1 \\ 5 \end{bmatrix} \right) = f\left( 2 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix}0\\1\\ 0\end{bmatrix} + 5 \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right)
\\= 2f\left( \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \right) - f\left( \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right) + 5f\left( \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right)
\\= 2 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{bmatrix} + 5 \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}
\\= \begin{bmatrix} 3 \\ 14 \\ 23 \end{bmatrix}
$$
例4 3次元ベクトル(2)
3次元ベクトルの場合も実数倍の和によって$${\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}}$$,$${\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}$$,$${\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}$$をすべて表せるようなベクトル$${a,b,c}$$に対する$${f}$$の移り先が定まれば、線形写像$${f}$$は完全に決定されます。
このような$${a,b,c}$$はたくさんあります。同値な条件として
$${a,b,c}$$はどの2つの実数倍の和でも残りを表すことができない。
$${a,b,c}$$はこれらの実数倍の和であらゆる3次元ベクトルを表せる。
があります。
たとえば$${\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 5\\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 3 \\ 3\\8 \end{bmatrix}}$$が一例です。
3元1次連立方程式を3つ解くことによって、
$$
-40 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\1 \end{bmatrix}+13 \begin{bmatrix} 2 \\ 5\\ 0 \end{bmatrix}+5 \begin{bmatrix} 3 \\ 3\\8 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\0 \end{bmatrix} \\
16 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\1 \end{bmatrix} - 5 \begin{bmatrix} 2 \\ 5\\0 \end{bmatrix} - 2 \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \\ 8 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\0 \end{bmatrix}\\
9 \begin{bmatrix} 1 \\ 2\\1 \end{bmatrix}-3 \begin{bmatrix} 2 \\ 5\\0 \end{bmatrix}-1 \begin{bmatrix} 3\\3\\ 8 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}
$$
となることがわかります。
計算が煩雑になるのでこのくらいにしておきますが、$${\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 5\\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 3 \\ 3\\8 \end{bmatrix}}$$の$${f}$$による移り先を与えると、$${\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}}$$,$${\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}$$,$${\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}$$の移り先が決まり、あらゆる3次元ベクトルに対して$${f}$$による移り先が決まります。
行列と線形写像
前回紹介した線形写像に加えて、線形写像の重要な例として行列の積を用いた変換があります。
行列についての詳しい準備は別の記事を作成したので、必要な方は参照してみてください。
行列の積
行列$${AとB}$$があるとき、$${A}$$の第$${i}$$行と$${B}$$の第$${j}$$列をそれぞれベクトルと考えて計算した内積を$${i,j}$$成分に持つような行列を$${AとB}$$の積といい$${AB}$$と表します。
内積とは成分ごとの積の合計です。つまり、
$$
\begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\\vdots \\ a_n \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}b_1 \\ b_2 \\\vdots \\ b_n \end{bmatrix} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots +a_nb_n
$$
です。
2次正方行列や2次元ベクトルについて具体的に書き下すと
$$
\begin{bmatrix}a_1 b_1 \\ c_1 d_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_2 b_2 \\ c_2 d_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a_1a_2+b_1c_2 a_1b_2+b_1d_2 \\ c_1a_2+d_1c_2 c_1b_2+d_1d_2\end{bmatrix}
$$
$$
\begin{bmatrix}a b \\ c d \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}ax+by \\ cx+dy \end{bmatrix}
$$
のようになります。
行列の積で定まる線形写像
行列$${A}$$とベクトル$${x}$$に対して$${f(x) = Ax }$$は線形写像になることがわかります。
実は、どんな線形写像でもこのように行列を用いた形で表すことができます。
たとえば例1で扱った線形写像は
$$
f\left(\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix}3x+4y\\2x+y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3 4 \\2 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}
$$
となります。$${\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$$の移り先が第1列、$${\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}$$の移り先が第2列にそのまま現れています。
3次元ベクトルを3次元ベクトルに移す線形写像は$${A}$$として3次正方行列を用いて表すことができ、$${A}$$は第1列が$${\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}}$$の移り先、第2列が$${\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}$$の移り先、第3列が$${\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}$$の移り先であるような行列です。
まとめ
今回分かったことは線形写像$${f}$$は、
2次元ベクトルなら2つ、3次元ベクトルなら3つの(適切に選ばれた)ベクトルの移り先がわかれば$${f}$$は完全に決定される。
$${f}$$はある行列を左からかける変換として表すことができる。
ということです。
次回はこのことを踏まえて、回転と射影を行列を用いて表してみます。