ネイピア数をpythonで視覚的にとらえる

ネイピア数をグラフで直感的にとらえてみます。ネイピア数は次の通り定義します。$${\displaystyle e = \lim_{x\to \pm\infty} \left(1+\frac{1}{x} \right)^{x}}$$また、 $${\frac{1}{x}=t}$$とおくと、$${x\to \infty}$$ならば、$${{t \to 0}}$$なので、$${\displaystyle e=\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}}$$とあらわすことができます。早速、$${x\to +\infty}$$の場合をグラフにしてみます。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
plt.style.use('seaborn-poster')
alphas=[0.2,1,1]
widths=[3,1,1]
num=200
pitch=0.001
x = np.arange(pitch,num+1,pitch)
#グラフの作成
formula=[(1+1/x)**x,(1+x)**(1/x), np.full(len(x),np.e)]

labels = [r'$\left(1+\frac{1}{x} \right)^{x}$',r'$(1+x)^{\frac{1}{x}}$',r'e']
colors=['g','r','b']
plt.figure(figsize = (10,8))
for fx, label, color ,alpha, w in zip(formula, labels,colors,alphas,widths):
   plt.plot(x,fx, color, label = label ,alpha=alpha,linewidth=w)
plt.grid()
plt.title(r'$\left(1+\frac{1}{x} \right)^{x},(1+x)^{\frac{1}{x}}$のグラフ',fontname="MS Gothic")
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.ylim(0,3)
plt.legend()

緑色の線は$${x=100}$$あたりからネイピア数に近づいていきます。$${x\to 0}$$の場合は青い線のように0に近づくに従い急速に駆け上がり、ネイピア数に収束の仕方をするのが面白いところです。次に、$${x\to -\infty}$$の場合をグラフにしてみます。
緑色の線は$${x=100}$$あたりからネイピア数に近づいていきます。$${x\to 0}$$の場合は青い線のように0に近づくに従い急速に駆け上がり、ネイピア数に収束の仕方をするのが面白いところです。次に、$${x\to -\infty}$$の場合をグラフにしてみます。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
plt.style.use('seaborn-poster')
alphas=[0.2,1,1]
widths=[3,1,1]
num=200
pitch=0.001
x = np.arange(-num,-pitch-1,pitch)
#グラフの作成
formula=[(1+1/x)**x, np.full(len(x),np.e)]
labels = [r'$\left(1+\frac{1}{x}\right)$',r'e']
colors=['r','b']
plt.figure(figsize = (10,8))
for fx, label, color ,alpha, w in zip(formula, labels,colors,alphas,widths):
   plt.plot(x,fx, color, label = label ,alpha=alpha,linewidth=w)
plt.grid()
plt.title(r'$\left(1+\frac{1}{x} \right)^{x}$のグラフ',fontname="MS Gothic")
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.ylim(2,5)
plt.legend()

-50あたりから絶対値が大きくなるに従い、ネイピア数に収束していくことがわかります。次に、$${\displaystyle e=\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}}$$の式を使うと面白い収束の仕方を見ることができます。$${\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\log(1+x)}{x}=\lim_{x\to 0}\log(1+x)^{\frac{1}{x}}=\log e=1}$$

さっそくグラフにしてみます。