連続する整数の性質

6の倍数であることの証明です。

いろいろなやり方が考えられます。

nは整数だから、余りよる分類。

6の倍数は、2の倍数かつ3の倍数だから、
それぞれを証明する。

もちろん、どちらでも可能です。

ただ、6で割った余りは0から5の6つあるので、6パターン証明するのはめんどうです。

ここで、役立つのが

「連続する整数の積の性質」

です。

例えば、連続する２つの整数は、
どちらかが必ず偶数なので、その積は2の倍数になります。

連続する３つの整数は、少なくも１つは偶数で、1つは3の倍数です。

よって、連続する３つの整数の積は6の倍数になります。

式を変形して、n(n+1)(n+2)のような形を作れば、6の倍数であることを示しています。

よって、上記の証明は

というようにできるのです。

一般的に

「連続するk個の整数の積は、kの倍数」

であることは覚えておきましょう。