位相空間の勉強は『天下り』ではなく『成り上がり』で！
数学のことを全く書いていなかったので、今日は位相空間のお勧め本について書きます。
位相とは空間内の点の近さとかつながり方を表すものですが、なかなか捉えにくい数学概念の一つです。しかし位相がわかってくると微分積分や線形代数の説明や定理で「一体何がいいたいのか、ちょっとよくわからない」と思っていた部分がストンと心におちてきて「あぁ、言いたいのはこういうことね！」となることも多いのです。
ちなみに、周期運動の周期のタイミング（角度）も位相と言いますが、ここでいう位相とは別の概念です。
理論工学や物理学等々の理系の学問において現代数学のセンスの会得は強みになります。同僚の情報系や工学系の先生や大学院生の学生さんなどに、位相空間を自分で勉強しているのだけど、よくわからなくて勉強が進まないとたまに相談されるのですが、そういうときにお勧めするのがこの1冊。
距離空間と位相空間 高橋渉 著 横浜図書
（本屋さんで見つからない場合は、直接横浜図書でご購入下さい）
位相空間の教科書において位相空間の導入の方法は二通りです。1つ目は開集合による位相空間の定義を示して天下り的に進めていくもので、抽象的な概念からだんだん具体的なものに進めていくというもの。こんな感じ。
Xを空間とし、Xの部分集合族Gが与えられているとする。これが次の3条件を満たすとき、Xを位相空間といい、Gに属する集合を開集合という：
X∈G, φ∈G
Gに属する任意個の集合の和集合は、Gに属する
Gに属する有限個の集合の積集合は、Gに属する
これ最初、見たときは本当に「なんじゃこりゃあ！」と松田優作のように叫んでしまいました（うそ）。え、これって開集合の性質じゃないの？開集合って境界が含まれていない集合なのに、境界はどこにいった？
開集合は境界が含まれてない集合。1次元なら、0以上1以下は、境界の0と1を含むので閉集合、0より大きく1より小さいだと、境界が含まれないので開集合。このような具体的な開集合は、上記の1,2,3の性質を持っています。この性質を持つものを開集合とする、という公理から出発するのが天下り式な導入法。
で、2つ目の導入法ですが、まず位相空間の例の1つである距離空間を勉強してそれを含む、もっと抽象的な性質、という風に位相空間に進んでいくものです。
つまり、抽象的なものからだんだん具体的なものを学ぶのか、具体的なものから抽象的にいくのか、上から下か、下から上かのの違いです。数学的なセンスの持ち主は前者の抽象論から入るのがわかりやすいという人も多いかもしれませんが、やはり、具体例をイメージしながら段々上位の概念を学ぶ成り上がり方式の方がわかりやすいという人が多数派ではないかと思います。特に、工学や情報工学の分野では。
ということで、距離空間を学んでから、それから位相空間、と無理なく進んでいくこちらの本は大変お勧めです。練習問題と略解もついています。一人で勉強するのは大変なので、読みたい箇所を少しずつとか、あるいは必要な個所を必要なときに読んでいるうちに、なんとなく全体像がつかめてくる、というのがよいのかな、と思います。
同じ理由でこちらの本もお勧め。こちらは、論理、集合、といった数学入門部分も充実しています。
今回紹介した2冊とも工学系で教鞭をとられていた数学者の先生によるものです。
開集合で近さが定義するって面白いと思いませんか。境界がないものって想像みるととても不思議な状況ですよね。授業では開集合のイメージを日傘をさしたアリスを使って説明しています。不思議の国のアリスの著者のルイス・キャロルは数学者（本名はチャールズ・ラトウィッジ・ドジスン）なので、多分、アリスの話って位相空間とか色々な空間のことを考えながら書いたのではないかな、と思っています。違うかな。
コロナの時に作った開集合の説明のYouTube動画、拙い動画ですがもしよかったら見てね。（アリスは後半の2分くらい）