局所座標系における特殊相対性理論の成立仮定

#局所座標系 #リーマン幾何学 #特殊相対性理論 #一般相対性理論 #Latex #物理学 #物理 #テンソル #行列

\documentclass[a4j]{jarticle} 

\begin{document}

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局所座標系における特殊相対性理論の成立仮定\\

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リーマン幾何学によれば、リーマン多様体上の無限に近い2点間の距離dsは\\
\\
 $d
s^{2}=g_{i j} d x^{i} d x^{j}$\\
\\
の平方で与えられる。この ds
を4次元空間の無限に近い点に属する線素 (line element)
の大きさと呼ぶが、これは、特殊相対性理論が成り立つような座標系においては、ミンコフスキーが指摘した4次元空間における不変量\\
\\
$d s^{2}=c^{2} d t^{2}-d x^{2}-d y^{2}-d z^{2}$\\
\\
一致するものでなくてはならない。すなわち、適当な座標変換により、計量テンソル$g_{i j}$は、\\
$g_{t t}=1, g_{x x}=g_{y y}=g_{z z}=-1$\\
\\
行列形式で描けば、\\
\\
$\left( \begin{array}{cccc}{1} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {-1} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {-1} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {-1}\end{array}\right)$\\
\\
となることが要請される。これはより一般的な表現として、有限で常に負の値をもつ基本計量テンソルの行列式$g={det}\left(g_{i j}\right)$ に対する次の条件\\
$\sqrt{-g}=1$\\
という形で条件として求められる。\\

（Wikipedia「一般相対性理論」より引用）

\end{document}