Hamiltonの正準方程式
ハミルトンの正準方程式による解法の簡単な例を示す。
ハミルトンの正準方程式（Hamilton's canonical eqation）とは
$${\dfrac{dq_i}{dt}=\dfrac{\partial}{\partial{p_i}}\mathscr{H}(t,q_i,\dot{q_i})}$$、 $${\dfrac{dp_i}{dt}=-\dfrac{\partial}{\partial{q_i}}\mathscr{H}(t,q_i,\dot{q_i})}$$
$${\mathscr{H}=\sum{p_i\dot{q_i}}-\mathscr{L}}$$：ハミルトニアン（ハミルトン関数）
$${q_i}$$：一般化座標 $${t}$$：時刻
$${p_i=\dfrac{\partial}{\partial\dot{q_i}}\mathscr{L}}$$：一般化運動量 (→ Lagrange’s eq の導出 を参照)
（$${\mathscr{L}=T-U}$$､$${T}$$：運動エネルギー､$${U}$$：ポテンシャルエネルギー）
0 簡単な取説
ラグランジュの運動方程式の場合は、$${\mathscr{L}}$$の変数が$${\dot{q_i},q_i}$$なのでそのまま$${\dot{q_i},q_i}$$で偏微分できる。
しかし、ハミルトニアン$${\mathscr{H}}$$は$${\mathscr{L}(\dot{q_i},q_i)}$$から導出するので$${p_i}$$で偏微分できない。$${\dot{q_i}}$$ではなく$${p_i}$$が必要である。
そのために$${p_i=\dfrac{\partial}{\partial\dot{q_i}}\mathscr{L}(\dot{q_i},q_i)}$$から$${p_i}$$と$${\dot{q_i}}$$の関係を求め、得た$${\dot{q_i}}$$を$${\mathscr{H}=\sum{p_i\dot{q_i}}-\mathscr{L(q_i,\dot{q_i})}}$$に代入し$${\mathscr{H}}$$を$${q_i,p_i}$$の式に導く。（これをルジャンドル変換というらしいが、今のわたしにはよくわからない。本質を理解せずに唯how toを書いているだけである。これから修行を積んで理解の域に達したい）
1 自由落下 $${\mathscr{H}(x,p_x)}$$
2 単振動 $${\mathscr{H}(x,p_x)}$$
3 放物運動 $${\mathscr{H}(x,y,p_x,p_y)}$$
4 単振り子 $${\mathscr{H}(\theta,p_{\theta})}$$
5 惑星の運動 $${\mathscr{H}(r,\theta,p_r,p_{\theta})}$$
$${\dfrac{dq_i}{dt}=\dfrac{\partial}{\partial\dot{p_i}}\mathscr{H}(t,q_i,\dot{q_i})}$$と$${\dfrac{dp_i}{dt}=-\dfrac{\partial}{\partial\dot{q_i}}\mathscr{H}(t,q_i,\dot{q_i})}$$のうち、最初の式は$${p_i=\dfrac{\partial}{\partial\dot{p_i}}\mathscr{L}}$$の結論と同じである。この式は不要ではないか。
また、ハミルトニアンは$${\mathscr{H}=\sum{p_i\dot{q_i}}-\mathscr{L}}$$で定義されるが、実は$${\mathscr{H}=T+U}$$でも得ることが出来る。しかし、いつもそうではないらしい。
謎はいくつもある。少しずつ進んでいこう。