オイラーの多面体定理も包除原理も一緒だ！みたいなブログを書きたい(展望)

※願望です。

オイラーの多面体定理→(頂点の数)-(辺の数)+(面の数)=2のやつです。

包除原理→和集合の要素の数の公式です。3個バージョンを高校数学的に書くと n(A∪B∪C)={n(A)+n(B)+n(C)}-{n(A∩B)+n(B∩C)+n(C∩A)}+n(A∩B∩C) です。ただしn個バージョンを考えます。

とりあえず Enumerative Combinatorics Volume 1 ( Richard P. Stanley )を読み直したうえで、はてなブログの方に極力分かりやすく(そこまで大学数学をやっていなくてもわかるように)、昔学んだ「オイラーの多面体定理と包除原理(ついでに約数倍数も？)」をいっしょくたに話をしたいと画策しています。しかし、分かりやすさからは程遠いものになる可能性もあります。このnoteでは、頭を整理するうえでも、軽く流れを考えてみたいと思います。

・Poset(Partially ordered set)を導入

多面体や集合を包括的に扱うための概念はさすがに導入しないといけないかな、というイメージです。約数倍数の話など具体例がいくらでもありますので、もともと知っている概念に言葉を与える感じになるでしょう。

・「Posetにおける区間の集合」からの関数を導入、代数的構造に注目

たとえば区間[0,1]に対してf([0,1])という複素数を与える、という感覚は写像を知らないと難しいですね。

・「Posetにおける区間の集合」におけるζ関数を導入し、逆元としてMobius関数μを導入

名前だけ聞くと一番熱くなるポイントかもしれません。実際、ここから急展開しそうな匂いがします。倍数約数の例もここで使えそうです。

・Mobius反転公式(Posetバージョン)を証明

ここが一番楽しくもありしんどいところになりそうです。

・Mobius反転公式(Posetバージョン)の応用例

一番わくわくするところです。一気に「包除原理」「オイラーの多面体定理」「古典的なMobius反転公式(約数の話)」を証明していきたいです。(ここも結構難しい気がします。というか、ほんとにできるのか？と自分のなかで怪しくなってきています。）

まとめると、ゴールまでの長さを感じますね。気長にまとめていきたいと思っていますが、うまくいかなければ許してください！