#M1【中1数学】分かった気でいると、後で痛い目見る重要な四則演算
こんにちは、tamaSA です。
2回目の投稿ですが、ここから本チャンの投稿記事なのでナンバリングもしていきます。
ちなみにナンバリングのルールは以下のとおりです。
＃JS M １ ⇒ JS・・・Junior high School から JS
M・・・Math（数学）（英語E 、国語 J、社会S、理科Sc
1・・・こちらはナンバリングです。
まあ、ナンバリングはこんな感じでやります（途中で変更するかもしれんが）
では、始めます！
今回は四則演算について記事を掲載します。
中学1年生で最初に習うところです。
実は、受験問題が解けない人はここの四則演算を「当たり前じゃんーー」って感じでテキトーに覚えてしまい、非常に苦労するんですねー。これは中３でやる因数分解でも影響出てくるくらい、舐めてやったらダメなところなんです笑 ではやっていきましょう。
第１章 四則演算
【ポイント】
■「足す」「引く」と「プラス」「マイナス」では意味が違う！
■四則演算の計算優先順位を理解する。
■交換法則・分配法則・結合法則をちゃんと覚える。
第１節 加法・減法
§1 加法
「加法」とは算数でいうところの「足し算」のことです。
算数では足し算と言いますが、数学では「加法」です。
小学生時代に習った「足し算（加法）」はこれですね。
$$
1 + 1 = 2 ・・・(1)
$$
要注意なのは次。中学からはこのような「足し算（加法）」が現れます。
$$
1 + (-1) = 0 ・・・(2)
$$
引き算じゃん！
って思う人いると思います。ここが重要です！
これ、引き算ではなく、「足し算（加法）」なんです。
これが冒頭の「ポイント」でお伝えしたとおり
「足す」「引く」と「プラス」「マイナス」では意味が違うんです。
これは、数学の先生によっては、その先生自体が意味を理解していないためか使い分けて教えてない先生がいます。
【STRUCTURE】⇦あ、こうしよう、構造で覚えるポイントはこう書こうw
「足す」「引く」は"演算"記号です。
「プラス」「マイナス」は"符号"です。
よってですね、（2）というのは、$${(+1) + (-1) = 0}$$ということを言っているのです。（通常「正の数」の時の符号は省略するので$${(+1)}$$とは書かないですが・・・）
§2 減法
「減法」とは算数でいうところの「引き算」のことです。
算数では引き算と言いますが、数学では「減法」です。
小学生時代に習った「引き算（減法）」はこれですね。
$$
1 - 1 = 0 ・・・(3)
$$
要注意なのは次。中学からはこのような「引き算（減法）」が現れます。
$$
1 - (-1) = 2 ・・・(4)
$$
おいおい、$${-(-1)}$$ってなんだよ笑
これがムズいんだわ、もう演算記号と符号の違いをゴッチャにしているなんちゃって数学の先生はお手上げっす！だからこう言っちゃうんだよね
「マイナスの数字で引くときはプラスに変わるんだ、これはそうゆう風に覚えておけばいい。そうなるんだ」
で、もう何の理解もないまま丸暗記させられちゃって、今後習う1次・2次方程式で生徒諸君は脳内プロンプト崩壊するんですわね。
責任感じて欲しいですわねｗ
まあ、ディスはこの程度にしておいてですね（あまり人のこと言えないし）
これね、普通は次のように考えるんです。
リンゴが２個あって、1個食べたら残り何個？ ＝ 1個
リンゴが１個あって、-1個食べたら残り何個？ ＝ 意味不明
ということなんです。
「-1個食べたら」って表現ないでしょ？
意味わからんのですよ。
つまり、「減法」というのは、6－5とか、10-3とか、こうゆうときに減法って使えるけど、（4）みたいなものは、減法で計算するっていうのはイメージからかけ離れてるんですね。
じゃあ、tamaSAはちゃんとわかるように説明できるんか！
って声が聞こえてくるような気配を感じているんですが、
私には無理です
これには理由があります。学校で教えるにあたり、どうしても小学校からの流れで「たしざん・ひきざん」を覚えてから「かけざん・わりざん」をやってる流れがあるんで、中学の四則演算もその順番で教えちゃうんです。
本来は、四則演算の勉強の順序はこうするべきなんです
§1 加法と乗法
§2 減法と除法
こうしておくと、理解が進むんです。では、減法の議論は一旦おいておいて、乗法をやりましょう。
§3 乗法
「乗法」とは算数でいうところの「掛け算」のことです。
小学校でならったのは、以下のとおり。
$${ 2×3 = 6}$$ ・・・(5)
中学校からはこんな計算が追加されます。
$${ 2×(-3) = -6}$$ ・・・(6)
$${ (-2)×(-3) = 6}$$ ・・・(7)
（5）はもういいでしょう。問題は（6）（7）ですよね。
学校ではこう習うんですよね。
正の数（＋） × 正の数（＋） ＝ 正の数（符号＋）
正の数（＋） × 負の数（－） ＝ 負の数（符号－）
負の数（－） × 負の数（－） ＝ 正の数（符号＋）
「これは覚えるもんだから、こうなると覚えておけばいいから！」
これをちゃんと説明しましょうか。
まず、正の数 × 負の数 ＝ 負の数 なんで？
っていうことなんですけどね。皆さんもあまり違和感もってないでしょう？
これは何となくイメージで分かっちゃうんだけど、厳密にちゃんと説明するとですね（6）の場合、入れ替えて考えるんです。
$$
3×(-2) = (-2)×3 = -6
$$
つまり、「3を-2倍しろ」ではなくて、「-2を3倍しろ」っていう言葉に替えるとイメージ通りになるわけです。
こうやって数字をですね、前と後ろで入れ替えできることを「交換則」といいます。
これができるのは、実は「加法」と「乗法」だけなんです。
減法はこの交換則は禁則行為です。例えば$${ 6 - 3 = 3}$$ですが、$${3 - 6 = -3}$$になっちゃって、入れ替えると答え変わっちゃうんだよね。そして明らかに割り算も答え変わっちゃうよね。だから割り算（除算）も禁則です。
当たり前のことなんだけど、この当たり前をちゃんと説明できる人って意外といないんですよ。こういったことをスラ―っと人に説明できる状態を「理解している」っていうんですね。
続いて（7）の負の数_(－)×負の数(－)＝正の数（+） ですね。
これはね、なんで？ってめっちゃ思いますよね。
これは以下のように証明できるんです。
$${(-1)×(-1)=1}$$の証明
四則演算の定義より
$${1-1=0}$$ ・・・（1）
（1）の両辺に-1を掛けて
$${(-1)×(1-1)= (-1)×0}$$
右辺は当然に0であるため
$${(-1)×（1-1）=0}$$
分配法則により
$${(-1)×(+1)+(-1)×(-1)=0}$$
$${(-1)×(+1)=-1}$$となるので
$${(-1)+(-1)×(-1)=0}$$・・・（2）
（2）の両辺に+1を足すと
(-1)×(-1)= +1
∴提題は証明された
-q.e.d.-
負の数×負の数＝正の数というのは、ちゃんと説明できるんですね。不思議ですけどね。
だから、四則演算を本当に理解しようと思うと、方程式の知識も必要になってくるんで、散々とある先生をディスしましたけどｗ、習う順番的に説明が困難なんですね、学校の先生もですね。
なので、丁寧な先生は、方程式まで単元が進むと、四則演算に戻って
「あの時は覚えろとしか言わなかったけど、実は負の掛け算はこうゆうことなんだよ」って説明してなげないといけないですよね。
それと、新しい言葉が証明式の中に出てきたので、捕捉します。
分配法則（括弧のある計算）
$${2×(2 + 3) = 2×2+2×3=10}$$
ですね、一般化すると
$${a(b+c)=ab+ac}$$
です。
ちょっと長い記事になってきたけど、許して！
この分配則ですけど、実は筆算と同じことやってます。
36
× 24
-------
144
72
------
864
➡ 4×（30 + 6）+ 20 ×（30+6）= 120+24+600+120＝864
下の4を上の数字にそれぞれ掛ける行為と
下の20（24だから分解すると20ですよね）を上の数字にそれぞれ掛ける行為を足すということが筆算です。これは分配法則そのもので、知らない間に皆さん使っているんです。ちょっと参考まで。
それでは、説明を飛ばしておりました減法に戻りましょう。
$${1-(-1)= 2}$$の説明を飛ばしていましたが、これは加法・乗法に戻して考えると分かりやすいのです。
そもそも
$${-(-1)}$$というのは$${(-1)×(-1)}$$とイコールですよね。
よって$${1-(-1)=1+(-1)×(-1)=1+1=2}$$
§4 まとめ
すこし脱線したり、飛ばしたり、戻したりしたので、最後にまとめておきます。上記で説明していないことも取り纏めておきます。
四則演算（定義）
§1 加法 ⇒ 足し算のこと。
交換法則： 1 + 2 = 2 + 1 が成り立つ（公理）
結合法則：（1+2）+ 3 = 1 + (2 + 3) が成り立つ（公理）
もちろん、交換法則と結合法則も成り立つので 2+(1+3)も公理である。
§2 減法 ⇒ 引き算のこと
交換法則：3 - 1≠ 1 - 3 のため、成り立たない（禁則）
結合法則 (3 - 1) - 2 ≠ 3 - (1-2) のため、成り立たない（禁則）
但し、加法置換により、交換・結合法則ともに成立する。
交換法則：3 - 1 = 3 + (-1) = -1 +3 が成り立つ。
結合法則：(3-1)-2 = {3 + (-1)} + (-2) = 3 + {(-1)+(-2)} が成り立つ。
もっとも、減法という概念は、交換法則、結合法則が禁則である以上、使
い勝手が悪いため加法に置き換えるというのが重要である。
さらにいえば、減法というのは、演算記号である「＋」を省略して記載し
ている加法そのものと言える。
§3 乗法 ⇒ 掛け算のこと
交換法則： 3×2 = 2×3 が成り立つ（公理）
結合法則：（3×2）×3 = 3×(2 × 3) が成り立つ（公理）
分配法則：3（2 + 3） = 3×2 + 3×2 が成り立つ
負の数×負の数＝正の数
（-1）×（-1）＝ +1 ⇒ 【上記証明を参照】
次回は除法について記事を執筆したいと思います。
除法はですね、奥深いんで、章を分けたいと思います。
もし今日の記事を読んで分かりやすかったり、面白かったりしたら、みなさんの「スキ」下さい♡