自乗和の麗しい導出
自乗和という呼び方は非公式的なもので，，，
要は，$${\sum_{k=1}^{n} k^2}$$についての公式です。
以前，どこかで知った証明法です。
紹介させて下さい。
数オリなどで「麗しい数」など使われているのを見て，
そういった背伸びした言葉を使ってみたくて，，，
お付き合い下さい。╰(*´︶`*)╯
導出
以下の３つの三角形状をした数列を考える。
この三角数列は上から順に，
１が１つで$${1×1=1^1}$$，
２が２つで$${2×2=2^2}$$，
３が３つで$${3×3=3^2}$$と，
$${k^2}$$までを表すことができる。
（便宜上，『三角数列』と呼称しており，正式な名称ではない。）
次に、３つの三角数列の和を考える。
三角数列①，②と③の和を３で割る。
特徴としては，行列を計算するようにそれぞれの数字の位置ごとの和をとる。
例：三角形状一番上について，１＋ｋ＋ｋ ＝ ２ｋ＋１ となる。
また、全ての位置についても下図のように ２ｋ＋１ となる。
$${\frac{1}{2} n ( n+1 )}$$個だけ$${2k+1}$$が存在する。
上から$${2k+1}$$が１個
$${2k+1}$$が２個
$${2k+1}$$が３個
・
・
・
$${2k+1}$$がｋ個
つまり$${2k+1}$$が(１＋２＋３＋･･･＋ｋ)個
尚，(１＋２＋３＋･･･＋ｋ)について，その和を$${T_n}$$とおくと、
$$
\begin{array}{}&T_n&=&1 + 2 + 3 + \cdots + n\\&T_n&=&n + \cdots + 3 + 2 + 1\\\\Then we add up\\the two equations above, we get \\\\&2T_n&=&n ( n+1 )\\\\Thus,Tn=\frac{1}{2} n ( n+1 )\end{array}
$$
であるから、
$$
\begin{array}{}\sum_{k=1}^{n}k^2&=&\frac{1}{3} ( 2n+1 ) \frac{1}{2} n ( n+1 )&\\\\&=&\frac{1}{6} n ( n+1 ) ( 2n+1 )&\end{array}
$$
以上です。
最後までお読みいただきありがとございました。
自分で読み返してみても，分かりづらいなぁと思う内容ですね。
╰(*´︶`*)╯<( ﾜﾀｼﾉ語彙力ﾊ麗ｼｸﾅｲ! )