ヒルベルト点　Hilbert Point

ヒルベルト点　Hilbert Point
 
$${d\ge 1}$$ 整数、$${1\le p<\infty }$$とする。
$${\mathbb{T}=\left\{ {{e}^{i\theta }}:0\le \theta <2\pi \right\}}$$ をトーラス
$${{{\mathbb{T}}^{d}}=\mathbb{T}\times \mathbb{T}\times \cdots \times \mathbb{T}}$$ を$${d}$$次元トーラス
とする。
$${{{\mathbb{N}}_{0}}=\left\{ 0,1,2,\cdots \right\}}$$
とする。
$${{{L}^{p}}\left( {{\mathbb{T}}^{d}} \right)}$$に属する関数$${f}$$はFourier 級数表現ができる。
$${f\left( z \right)\sim \sum\limits_{\alpha \in {{\mathbb{Z}}^{d}}}{\hat{f}\left( \alpha \right)}{{z}^{\alpha }}}$$　
ここで、
$${\hat{f}\left( \alpha \right)=\int\limits_{{{\mathbb{T}}^{d}}}{f\left( z \right)}\overline{{{z}^{\alpha }}}d{{m}_{d}}\left( z \right)}$$
はFourier係数であり、 $${{{m}_{d}}}$$は$${d}$$次元トーラス$${{{\mathbb{T}}^{d}}}$$の上の Haar 測度である。
Hardy 空間 $${{{H}^{p}}\left( {{\mathbb{T}}^{d}} \right)}$$は $${\alpha \in }$$$${{{\mathbb{Z}}^{d}}\backslash \mathbb{N}_{0}^{d}}$$について$${\hat{f}\left( \alpha \right)=0}$$となる関数 $${f\in {{L}^{p}}\left( {{\mathbb{T}}^{d}} \right)}$$の全体から作られる$${{{L}^{p}}\left( {{\mathbb{T}}^{d}} \right)}$$ の閉部分集合である。
内関数$${I\in {{H}^{p}}\left( {{\mathbb{T}}^{d}} \right)}$$は ほとんどすべての　$${z}$$$${\in }$$$${{{\mathbb{T}}^{d}}}$$に対して$${\left| I\left( z \right) \right|=1}$$となるものである。
ゼロでない$${\varphi \in {{H}^{p}}\left( {{\mathbb{T}}^{d}} \right)}$$が$${{{H}^{p}}\left( {{\mathbb{T}}^{d}} \right)}$$におけるHirbert点であるとは、
$${\left\langle f,\varphi \right\rangle =0}$$をみたす$${f\in {{L}^{p}}\left( {{\mathbb{T}}^{d}} \right)}$$に対して、$${{{\left\| \varphi \right\|}_{{{L}^{p}}\left( {{\mathbb{T}}^{d}} \right)}}\le {{\left\| \varphi +f \right\|}_{{{L}^{p}}\left( {{\mathbb{T}}^{d}} \right)}}}$$
となることである。
ここで、内積$${\left\langle f,\varphi \right\rangle =0}$$の意味について説明する必要がある。
$${{{L}^{p}}}$$ はバナッハ空間で$${{{L}^{2}}}$$はヒルベルト空間。内積はヒルベルト空間にのみ定義される概念である。しかし、$${p\ge 2}$$ のときは$${{{L}^{p}}\left( {{\mathbb{T}}^{d}} \right)\subset {{L}^{2}}\left( {{\mathbb{T}}^{d}} \right)}$$であることを考えれば$${p\ge 2}$$のときは$${{{L}^{p}}\left( {{\mathbb{T}}^{d}} \right)}$$ においても$${{{L}^{2}}\left( {{\mathbb{T}}^{d}} \right)}$$のものをそのまま使えばよい。しかし、$${1\le p<2}$$ のときはどう考えればよいのか。
$${1\le p<2}$$のとき$${\left\langle g,\varphi \right\rangle =0}$$となる多項式$${g\left( z \right)={{a}_{0}}+{{a}_{1}}z+\cdots +{{a}_{n}}{{z}^{n}}}$$ 全体でつくる$${{{H}^{p}}\left( {{\mathbb{T}}^{d}} \right)}$$における閉包に$${f}$$が属する場合$${\left( f,\varphi \right)=0}$$が成り立つと宣言しよう。
$${p=2}$$の場合$${\left( f,\varphi \right)=0}$$のとき、
$${{{\left\| \varphi \right\|}^{2}}_{{{L}^{2}}\left( {{\mathbb{T}}^{d}} \right)}\le {{\left\| \varphi \right\|}^{2}}_{{{L}^{2}}\left( {{\mathbb{T}}^{d}} \right)}+{{\left\| f \right\|}^{2}}_{{{L}^{2}}\left( {{\mathbb{T}}^{d}} \right)}={{\left\| \varphi +f \right\|}^{2}}_{{{L}^{2}}\left( {{\mathbb{T}}^{d}} \right)}}$$
であるから、$${\varphi \in {{H}^{2}}\left( {{\mathbb{T}}^{d}} \right)}$$はいつでもヒルベルト点である。ヒルベルト点であるかどうかは、$${p\ne 2}$$の場合だけが問題になる。

定理A　$${\varphi \in {{H}^{p}}\left( {{\mathbb{T}}^{d}} \right)}$$ が$${{{H}^{p}}\left( {{\mathbb{T}}^{d}} \right)}$$において Hilbert 点であるための必要十分条件は、ある定数 $${\lambda >0}$$ が存在して
$${P\left( {{\left| \varphi \right|}^{p-2}}\varphi \right)=\lambda \varphi }$$
となることである。ここで、 $${P}$$ は$${{{L}^{p}}\left( {{\mathbb{T}}^{d}} \right)}$$から $${{{H}^{p}}\left( {{\mathbb{T}}^{d}} \right)}$$ へのRiesz 射影である。

この定理をつかえば、ある定数 $${C\ne 0}$$と内関数$${I(z)}$$があって $${\varphi =CI(z)}$$と書けるなら、$${\varphi }$$が$${1\le p<\infty }$$にたいして$${{{H}^{p}}\left( {{\mathbb{T}}^{d}} \right)}$$におけるヒルベルト点であることが容易にわかる。
$${d\ge 2}$$の場合は$${d=1}$$に比べ格段にむつかしく専門的になるので、今日は$${d=1}$$の場合で基本的な次の定理Bの証明を考察しよう。

定理B $${1\le p<\infty }$$ , $${p\ne 2}$$を仮定する。$${\varphi \in {{H}^{p}}\left( \mathbb{T} \right)}$$ が$${{{H}^{p}}\left( \mathbb{T} \right)}$$において Hilbert 点であるための必要十分条件は、ある定数 $${C\ne 0}$$に対して $${\varphi =CI(z)}$$と書けることである。

十分条件は定理Aのすぐ下で示した。必要条件をしらべよう。すなわち、$${\varphi }$$がヒルベルト点であることを仮定して、$${\varphi }$$が内関数の定数倍であることをしめそう。定理Aを用いると$${\lambda >0}$$が存在して $${P\left( {{\left| \varphi \right|}^{p-2}}\varphi \right)=\lambda \varphi }$$となる。$${\varphi }$$のスケールを変えて$${\lambda =1}$$ を仮定しても一般性を失わない。$${f}$$を任意の多項式$${f\left( z \right)={{a}_{0}}+{{a}_{1}}z+\cdots +{{a}_{n}}{{z}^{n}}}$$とする。Riesz射影は自己共役作用素であるから、
$${\left\langle {{\left| \varphi \right|}^{2}},f \right\rangle =\left\langle \varphi ,\varphi f \right\rangle =\left\langle P{{\left| \varphi \right|}^{p-2}}\varphi ,\varphi f \right\rangle }$$ $${=\left\langle {{\left| \varphi \right|}^{p-2}}\varphi ,P\varphi f \right\rangle =\left\langle {{\left| \varphi \right|}^{p-2}}\varphi ,\varphi f \right\rangle =\left\langle {{\left| \varphi \right|}^{p}},f \right\rangle }$$
$${\left\langle {{\left| \varphi \right|}^{2}},\bar{f} \right\rangle =\left\langle \varphi f,\varphi \right\rangle =\left\langle \varphi f,P{{\left| \varphi \right|}^{p-2}}\varphi \right\rangle }$$$${=\left\langle P\varphi f,{{\left| \varphi \right|}^{p-2}}\varphi \right\rangle =\left\langle \varphi f,{{\left| \varphi \right|}^{p-2}}\varphi \right\rangle =\left\langle {{\left| \varphi \right|}^{p}},\bar{f} \right\rangle }$$

要約すると：

$${\left\langle {{\left| \varphi \right|}^{2}},f \right\rangle=\left\langle {{\left| \varphi \right|}^{p}},f \right\rangle }$$,
$${\left\langle {{\left| \varphi \right|}^{2}},\bar{f} \right\rangle=\left\langle {{\left| \varphi \right|}^{p}},\bar{f} \right\rangle }$$,

$${f}$$ は任意であり、両側多項式$${{{a}_{0}}+{{a}_{1}}z+\cdots +{{a}_{n}}{{z}^{n}}+{{b}_{1}}{{z}^{-1}}+{{b}_{2}}{{z}^{-2}}+\cdots +{{b}_{m}}{{z}^{-m}}}$$の全体が$${{{L}^{p}}\left( \mathbb{T} \right)}$$で稠密になることから、$${{{\left| \varphi \right|}^{p}}={{\left| \varphi \right|}^{2}}}$$がほとんどすべての$${z\in \mathbb{T}}$$ に対して成り立つ。したがって$${\left| \varphi \right|=1}$$ がほとんどすべての$${z\in \mathbb{T}}$$に対して成り立つ。つまり、$${\varphi =CI(z)}$$でなければならない
証明終わり。
補足）内積の計算中、$${P}$$が消える部分において、
$${\varphi \in {{H}^{p}}\left( \mathbb{T} \right)}$$ は$${\varphi \left( z \right)=\sum\limits_{\alpha \in {{\mathbb{Z}}_{\ge 0}}}{\hat{f}\left( \alpha \right)}{{z}^{\alpha }}}$$とかけるもので、$${f\left( z \right)={{a}_{0}}+{{a}_{1}}z+\cdots +{{a}_{n}}{{z}^{n}}}$$と$${\varphi \in {{H}^{p}}\left( \mathbb{T} \right)}$$の積$${\varphi f\in {{H}^{p}}\left( \mathbb{T} \right)}$$となる。
したがって、
$${P\varphi f=\varphi f}$$
となることを使っている。

[ Brevig, O. F., Ortega-Cerd\`a, J.\ and Seip, K., Hilbert points in Hardy spaces, St. Petersburg Math. J. 34 (2023), no. 3, 405--425]
30H10 (42B30 60E15)