オイラーの定理１９
オイラーの定理１９
オイラーは1737年の論文の中で次の定理１９を述べている。
定理１９
素数の逆数たちの和
$${\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\cdots }$$
は発散する。しかし、次の調和級数
$${1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\cdots }$$に比べればinfinitely times less である。つまり、前者の和は後者の和の対数オーダーである。
これは次のように解釈される。 オイラーは
$${\sum\limits_{n\le x}{\frac{1}{n}\approx \log x}}$$
を知っていた。実際$${\sum\limits_{n\le x}{\frac{1}{n}-\log x}}$$は$${x\to \infty }$$ のとき収束して、極限$${\gamma }$$ はオイラーの定数と呼ばれている。オイラーが定理１９で意味することは
$${\sum\limits_{p\le x}{\frac{1}{p}\approx \log \log x}}$$
ということになる。ここで、$${p}$$は素数で、以後文字$${p}$$ を素数として使い続ける。１８７４年にMertensという人が$${x\to {{\infty }^{{}}}}$$ のとき、
$${\sum\limits_{p\le x}{\frac{1}{p}-\log \log x\to \gamma -\sum\limits_{p}{\sum\limits_{k\ge 2}{\frac{1}{k{{p}^{k}}}}}}}$$
を示しているそうである。この式の証明にはEuler以後のおおくの研究結果が必用である。
Paul Pollackは定理１９のみを示す簡単な、しかし、巧妙な証明方法を編み出した。
定理１(Paul Polack2015)：$${x>{{e}^{4}}}$$において、
$${\left| \sum\limits_{p\le x}{\frac{1}{p}-\log \log x} \right|<6}$$
http://pollack.uga.edu/eulerprime.pdf
定理の証明の道筋をたどろう。定義式、命題２、補題３，補題４の結果だけ先に述べ、定理の証明をおこなう。そして、命題２、補題３，補題４の証明は後回しとする。
定義式：
$${s>1}$$ に対して、
$${\zeta \left( s \right)=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{{{n}^{s}}}}}$$ , $${P\left( s \right)=\sum\limits_{p}{\frac{1}{{{p}^{s}}}}}$$
とおく。$${\zeta \left( s \right)}$$はEuler-Riemannのゼータ関数、$${P\left( s \right)}$$ はprime zeta function（素数ゼータ関数）と呼ばれる。$${\lambda \left( t \right)}$$ を$${t\in \left[ 0,1 \right]}$$ で定義された有界な関数として、
$${S\left( \lambda ;x \right)=\sum\limits_{p}{\frac{1}{p}{{p}^{\left( -1/\log x \right)}}}\lambda \left( {{p}^{-1/\log x}} \right)}$$
とおく。Pollackは$${\lambda =\lambda \left( t \right)}$$ として実に巧妙に、関数$${{{\lambda }_{0}},{{\lambda }^{\left( L \right)}},{{\lambda }^{\left( U \right)}}}$$ を設定する。
$${{{\lambda }_{0}}\left( t \right)=0}$$（$${\left( 0\le t<1/e \right)}$$ , $${{{\lambda }_{0}}\left( t \right)=1/t}$$$${\left( 1/e\le t\le 1 \right)}$$
$${{{\lambda }^{\left( U \right)}}\left( t \right)=\left( e+1 \right)-et}$$$${\left( 0\le t\le 1 \right)}$$
$${{{\lambda }^{\left( L \right)}}\left( t \right)=-\frac{1}{e-1}+\frac{e}{e-1}t}$$$${\left( 0\le t\le 1 \right)}$$
とおく。
$${1/e\le t\le 1}$$では$${t{{\lambda }_{0}}\left( t \right)=1}$$ であるから
$${x>{{e}^{4}}}$$と仮定すると、
$${S\left( {{\lambda }_{0}};x \right)=\sum\limits_{p}{\frac{1}{p}{{p}^{\left( -1/\log x \right)}}}{{\lambda }_{0}}\left( {{p}^{-1/\log x}} \right)=\sum\limits_{p\le x}{\frac{1}{p}}}$$
そして次のグラフをみればわかるように
$${{{\lambda }^{\left( L \right)}}\left( t \right)\le {{\lambda }_{0}}\left( t \right)\le {{\lambda }^{\left( U \right)}}\left( t \right)}$$であるから
$${S\left( {{\lambda }^{\left( L \right)}};x \right)\le S\left( {{\lambda }_{0}};x \right)=\sum\limits_{p\le x}{\frac{1}{p}}\le S\left( {{\lambda }^{\left( U \right)}};x \right)}$$
が成り立つ。また、定理の証明において、$${x>{{e}^{4}}}$$の仮定の下
$${S\left( {{\lambda }^{\left( U \right)}};x \right)<\log \log x+6}$$
および
$${\log \log x-3< S\left( {{\lambda }^{\left( L \right)}};x \right)}$$
を証明される。つまり、
$${\log \log x-3< S\left( {{\lambda }^{\left( L \right)}};x \right)\le S\left( {{\lambda }_{0}};x \right)=\sum\limits_{p\le x}{\frac{1}{p}}\le S\left( {{\lambda }^{\left( U \right)}};x \right)<\log \log x+6}$$
となり結論が言えることになる。
命題２．$${s>1}$$に対して、
$${0<\log \zeta \left( s \right)-P\left( s \right)<\frac{1}{2}}$$
補題3. $${s>1}$$ に対して、$${1<\left( s-1 \right)\zeta \left( s \right)<s}$$
補題4. $${s\in \left( 0,1/2 \right)}$$において$${\left| P\left( s+1 \right)-\log \frac{1}{s} \right|<\frac{1}{2}}$$
定理の証明）$${\lambda \left( t \right)=\alpha +\beta t}$$ とおくと
$${S\left( \lambda ;x \right)=\sum\limits_{p}{\frac{1}{p}{{p}^{\left( -1/\log x \right)}}}\lambda \left( {{p}^{-1/\log x}} \right)}$$$${=\sum\limits_{p}{\frac{1}{p}{{p}^{\left( -1/\log x \right)}}}\left( \alpha +\beta {{p}^{-1/\log x}} \right)}$$$${=\alpha \sum\limits_{p}{\frac{1}{p}{{p}^{\left( -1/\log x \right)}}+}\beta \sum\limits_{p}{\frac{1}{p}{{p}^{\left( -2/\log x \right)}}}=\alpha P\left( 1+\frac{1}{\log x} \right)+\beta P\left( 1+\frac{2}{\log x} \right)}$$
したがって、
$${S\left( \lambda ;x \right)-\left( \alpha +\beta \right)\log \log x}$$
$${=\alpha \left[ P\left( 1+\frac{1}{\log x} \right)-\log \log x \right]+\beta \left[ P\left( 1+\frac{2}{\log x} \right)-\log \log x \right]}$$
と書ける。
$${x>{{e}^{4}}}$$のとき、$${\frac{1}{\log x}<\frac{2}{\log x}<\frac{1}{2}}$$であるから、補題４より、
$${\left| P\left( 1+\frac{1}{\log x} \right)-\log \log x \right|<\frac{1}{2}}$$
$${\left| P\left( 1+\frac{2}{\log x} \right)-\log \frac{\log x}{2} \right|<\frac{1}{2}}$$
であるが、下のほうの不等式は
$${\left| P\left( 1+\frac{2}{\log x} \right)-\log \log x \right|<\frac{1}{2}+\log 2}$$
と書き直される。
上限の評価：
$${{{\lambda }^{\left( U \right)}}\left( t \right)=\left( e+1 \right)-et}$$
すなわち、$${\alpha =e+1}$$ , $${\beta =-e}$$とする。
$${S\left( \lambda ;x \right)-\left( \alpha +\beta \right)\log \log x}$$
$${=\alpha \left[ P\left( 1+\frac{1}{\log x} \right)-\log \log x \right]+\beta \left[ P\left( 1+\frac{2}{\log x} \right)-\log \log x \right]}$$
に、うえでしめした
$${\left| P\left( 1+\frac{1}{\log x} \right)-\log \log x \right|<\frac{1}{2}}$$と$${\left| P\left( 1+\frac{2}{\log x} \right)-\log \log x \right|<\frac{1}{2}+\log 2}$$
を用いて得られる不等式
$${S\left( \lambda ;x \right)-\left( \alpha +\beta \right)\log \log x}$$
$${\le \left| \alpha \right|\left| P\left( 1+\frac{1}{\log x} \right)-\log \log x \right|+\left| \beta \right|\left| P\left( 1+\frac{2}{\log x} \right)-\log \log x \right|}$$
$${\le \frac{\left| \alpha \right|}{2}+\left| \beta \right|\left( \frac{1}{2}+\log 2 \right)}$$
に、$${\alpha =e+1}$$ , $${\beta =-e}$$ を代入すると
$${S\left( {{\lambda }^{\left( U \right)}};x \right)-\log \log x}$$$${\le \frac{e+1}{2}+e\left( \frac{1}{2}+\log 2 \right)<6}$$
が得られる
下限の評価：
$${{{\lambda }^{\left( L \right)}}\left( t \right)=-\frac{1}{e-1}+\frac{e}{e-1}t}$$$${\left( 0\le t\le 1 \right)}$$
すなわち、$${\alpha =-\frac{1}{e-1}}$$, $${\beta =\frac{e}{e-1}}$$ とする。
$${S\left( \lambda ;x \right)-\left( \alpha +\beta \right)\log \log x}$$
$${=\alpha \left[ P\left( 1+\frac{1}{\log x} \right)-\log \log x \right]+\beta \left[ P\left( 1+\frac{2}{\log x} \right)-\log \log x \right]}$$
において、ふたたび
$${\left| P\left( 1+\frac{1}{\log x} \right)-\log \log x \right|<\frac{1}{2}}$$と$${\left| P\left( 1+\frac{2}{\log x} \right)-\log \log x \right|<\frac{1}{2}+\log 2}$$
を用いて得られる不等式
$${S\left( \lambda ;x \right)-\left( \alpha +\beta \right)\log \log x}$$$${\ge -\frac{\left| \alpha \right|}{2}-\left| \beta \right|\left( \frac{1}{2}+\log 2 \right)}$$
に$${\alpha =-\frac{1}{e-1}}$$ , $${\beta =\frac{e}{e-1}}$$を代入して得られる不等式
$${S\left( {{\lambda }^{\left( L \right)}};x \right)-\log \log x}$$$${\ge -\frac{1}{2\left( e-1 \right)}-\frac{e}{e-1}\left( \frac{1}{2}+\log 2 \right)>-3}$$
が得られて定理の証明が終わる。
めも：$${\alpha +\beta =1}$$となるように選んでいる。しかも$${\alpha }$$ と$${\beta }$$の符号を反対にして主要部分（大きく発散する部分を打ち消しあうように選んでいる！）
命題２．$${s>1}$$ に対して、
$${0<\log \zeta \left( s \right)-P\left( s \right)<\frac{1}{2}}$$
証明
$${\zeta \left( s \right)=\prod\limits_{p}{\frac{1}{1-\frac{1}{{{p}^{s}}}}}}$$
両辺の対数をとる。
$${-\log \left( 1-x \right)=x+\frac{{{x}^{2}}}{2}+\frac{{{x}^{3}}}{3}+\cdots }$$ をつかって
$${\log \zeta \left( s \right)=-\sum\limits_{p}{\log \left( 1-{{p}^{-s}} \right)}}$$
$${=P\left( s \right)+\sum\limits_{p}{\sum\limits_{k\ge 2}{\frac{1}{k{{p}^{ks}}}}}}$$
をえるが、
$${0<\sum\limits_{p}{\sum\limits_{k\ge 2}{\frac{1}{k{{p}^{ks}}}}}\le \frac{1}{2}\sum\limits_{p}{\sum\limits_{k\ge 2}{\frac{1}{{{p}^{k}}}}}}$$$${=\frac{1}{2}\sum\limits_{p}{\frac{1}{p\left( p-1 \right)}<}\frac{1}{2}\sum\limits_{n\ge 2}{\frac{1}{n\left( n-1 \right)}=\frac{1}{2}}}$$
より結果を得る。
補題3. $${s>1}$$に対して、$${1<\left( s-1 \right)\zeta \left( s \right)<s}$$
証明 $${t>1}$$ で $${{{t}^{-s}}}$$ は減少関数であるから
$${{{\left( n+1 \right)}^{-s}}<\int\limits_{n}^{n+1}{{{t}^{-s}}dt<{{n}^{-s}}}}$$
これを$${n}$$ について加えた
$${\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{\left( n+1 \right)}^{-s}}}<\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\int\limits_{n}^{n+1}{{{t}^{-s}}dt<\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{n}^{-s}}}}}}$$
より
$${\zeta \left( s \right)-1<\int\limits_{1}^{\infty }{{{t}^{-s}}dt=\frac{1}{s-1}<\zeta \left( s \right)}}$$
となる。これを書き直して
$${\frac{1}{s-1}<\zeta \left( s \right)<\frac{1}{s-1}+1=\frac{s}{s-1}}$$
辺々$${s-1}$$ をかければ結果を得る。
補題4. $${s\in \left( 0,1/2 \right)}$$ において$${\left| P\left( s+1 \right)-\log \frac{1}{s} \right|<\frac{1}{2}}$$
証明
命題２より
$${-\frac{1}{2}< P\left( s+1 \right)-\log \zeta \left( s+1 \right)<0}$$。
他方補題３より
$${1< s\zeta \left( s+1 \right)<\frac{3}{2}}$$
したがって
$${0< \log \zeta \left( s+1 \right)-\log \frac{1}{s}<\log \frac{3}{2}}$$
これら不等式を加え合わせて
$${\log \frac{3}{2}<\left( \frac{3}{2}-1 \right)=\frac{1}{2}}$$
をつかえば結果が出てくる。
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