Tricks

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 変数変換だけで定理が証明できてしまったらそれはトリック以外の何物でもない。
$${{f\in {{L}^{1}}\left( {{\mathbb{R}}^{n}} \right)}}$$ に対してそのフーリエ変換を
$${{\hat{f}\left( \xi \right)=\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}}{f\left( x \right){{e}^{-2\pi i\,x\cdot \xi }}dx}}}$$
で定義する。ここで、$${{x\cdot \xi ={{x}_{1}}{{\xi }_{1}}+{{x}_{2}}{{\zeta }_{2}}+\cdots +{{x}_{n}}{{\xi }_{n}}}}$$ とおいている。
$${{{{\left\| f \right\|}_{p}}={{\left( {{\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}}{\left| f\left( x \right) \right|}}^{p}}dx \right)}^{1/p}}}}$$,$${{\infty >p\ge 1}}$$$${{{{\left\| f \right\|}_{\infty }}=\underset{x\in {{\mathbb{R}}^{n}}}{\mathop{ess\sup }}\,\left| f\left( x \right) \right|}}$$
とする。
 
Fourier変換の性質をいくつか挙げると
 
（１）線形性：$${{{{\left( \alpha f+\beta g \right)}^{\hat{\ }}}=\alpha \hat{f}+\beta \hat{g}}}$$
（２）$${{{{\left\| {\hat{f}} \right\|}_{\infty }}\le {{\left\| f \right\|}_{1}}}}$$
（フーリエ変換の式より、$${{\left| \hat{f}\left( \xi \right) \right|\le \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}}{\left| f\left( x \right){{e}^{-2\pi ix\cdot \xi }} \right|dx}}}$$）
（３）$${{\underset{\xi \to \infty }{\mathop{\lim }}\,\hat{f}\left( \xi \right)=0}}$$ （Riemann-Lebesgue）
（４）$${{g\left( x \right)={{\lambda }^{-n}}f\left( {{\lambda }^{-1}}x \right)}}$$とおくとき、$${{\hat{g}\left( \xi \right)=\hat{f}\left( \lambda \xi \right)}}$$
実際、$${{\hat{g}\left( \xi \right)=\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}}{{{\lambda }^{-n}}}f\left( {{\lambda }^{-1}}x \right){{e}^{-2\pi i\,x\cdot \xi }}dx}}$$ において$${{u={{\lambda }^{-1}}x}}$$ すなわち$${{\left( {{u}_{1}},{{u}_{2}},\cdots ,{{u}_{n}} \right)=\left( {{\lambda }^{-1}}{{x}_{1}},{{\lambda }^{-1}}{{x}_{2}},\cdots ,{{\lambda }^{-1}}{{x}_{n}} \right)}}$$とおくと
$${{du=d{{u}_{1}}d{{u}_{2}}\cdots d{{u}_{n}}={{\lambda }^{-n}}d{{x}_{1}}d{{x}_{2}}\cdots d{{x}_{n}}={{\lambda }^{-n}}dx}}$$
となるので、
$${{\hat{g}\left( \xi \right)=\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}}{{{\lambda }^{-n}}}f\left( {{\lambda }^{-1}}x \right){{e}^{-2\pi i\,x\cdot \xi }}dx=\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}}{f\left( u \right)}{{e}^{-2\pi i\,\lambda u\cdot \xi }}du}}$$
$${{=\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}}{f\left( u \right)}{{e}^{-2\pi i\,u\cdot \lambda \xi }}du=\hat{f}\left( \lambda \xi \right)}}$$
 

Hausdorff-Youngの不等式　
もし、$${{f\in {{L}^{p}}}}$$, $${{1\le p\le 2}}$$ のとき、
$${{\hat{f}\in {{L}^{p'}}}}$$であり、
$${{{{\left\| {\hat{f}} \right\|}_{p'}}\le {{\left\| f \right\|}_{p}}}}$$
がなりたつ。ただし、$${{\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1}}$$ 。
$${{\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1}}$$をみたす。この関係を満たす$${{p,p'}}$$ は共役といわれる。

 
証明にはRiesz-Thorin のinterpolation 定理が用いられる。
 
Riesz-Thorin については次回に譲るとして、今日ここでしめしたいことは次である。

$${{1< p,q < \infty }}$$ とある定数$${{{{C}_{p,q} >0}}}$$があり、
$${{{{\left\| {\hat{f}} \right\|}_{q}}\le {{C}_{p,q}}{{\left\| f \right\|}_{p}}}}$$
をみたすなら、$${{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1}}$$である。
 すなわち、$${{p,q}}$$は共役でなければならない。
 

これはつぎのように証明できる。
 
$${{g\left( x \right)={{\lambda }^{-n}}f\left( {{\lambda }^{-1}}x \right)}}$$とおく。$${{\hat{g}\left( \xi \right)=\hat{f}\left( \lambda \xi \right)}}$$であった。
 
$${{{{\left\| {\hat{f}} \right\|}_{q}}={{\left( {{\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}}{\left| \hat{f}\left( \xi \right) \right|}}^{q}}d\xi \right)}^{1/q}}}}$$
$${{={{\left( {{\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}}{\left| \hat{f}\left( \lambda \xi \right) \right|}}^{q}}d\left( \lambda \xi \right) \right)}^{1/q}}={{\left( {{\lambda }^{n}}{{\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}}{\left| \hat{f}\left( \lambda \xi \right) \right|}}^{q}}d\xi \right)}^{1/q}}}}$$$${{={{\lambda }^{\frac{n}{q}}}{{\left( {{\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}}{\left| \hat{g}\left( \xi \right) \right|}}^{q}}d\xi \right)}^{1/q}}}}$$
ここで、定理の仮定より
$${{{{\left( {{\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}}{\left| \hat{g}\left( \xi \right) \right|}}^{q}}d\xi \right)}^{1/q}}\le {{C}_{p,q}}{{\left( {{\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}}{\left| g\left( x \right) \right|}}^{p}}dx \right)}^{1/p}}}}$$
を用いると
$${{{{\left\| {\hat{f}} \right\|}_{q}}}}$$$${{\le {{\lambda }^{\frac{n}{q}}}{{C}_{p,q}}{{\left( {{\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}}{\left| g\left( x \right) \right|}}^{p}}dx \right)}^{1/p}}}}$$$${{g\left( x \right)={{\lambda }^{-n}}f\left( {{\lambda }^{-1}}x \right)}}$$であったから
$${{{{\left\| {\hat{f}} \right\|}_{q}}\le {{\lambda }^{\frac{n}{q}}}{{C}_{p,q}}{{\left( {{\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}}{\left| {{\lambda }^{-n}}f\left( {{\lambda }^{-1}}x \right) \right|}}^{p}}dx \right)}^{1/p}}={{\lambda }^{\frac{n}{q}}}{{C}_{p,q}}{{\left( {{\lambda }^{-pn}}{{\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}}{\left| f\left( {{\lambda }^{-1}}x \right) \right|}}^{p}}dx \right)}^{1/p}}}}$$
したがって、
$${{{{\left\| {\hat{f}} \right\|}_{q}}={{\lambda }^{\frac{n}{q}}}{{C}_{p,q}}{{\left( {{\lambda }^{-pn}}{{\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}}{\left| f\left( {{\lambda }^{-1}}x \right) \right|}}^{p}}dx \right)}^{1/p}}={{\lambda }^{\frac{n}{q}-n}}{{C}_{p,q}}{{\left( {{\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}}{\left| f\left( {{\lambda }^{-1}}x \right) \right|}}^{p}}dx \right)}^{1/p}}}}$$$${{={{\lambda }^{\frac{n}{q}-n}}{{C}_{p,q}}{{\left( {{\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}}{{{\lambda }^{n}}\left| f\left( {{\lambda }^{-1}}x \right) \right|}}^{p}}d\left( {{\lambda }^{-1}}x \right) \right)}^{1/p}}}}$$$${{={{\lambda }^{\frac{n}{q}-n+\frac{n}{p}}}{{C}_{p,q}}{{\left( {{\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}}{\left| f\left( x \right) \right|}}^{p}}dx  \right)}^{1/p}}}}$$
ここで、$${{\lambda }}$$はどんな数スカラーでもよかったことに注意する。
$${{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}<1}}$$のときは、$${{\lambda \to \infty }}$$
$${{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}>1}}$$のときは$${{\lambda \to 0}}$$
としてやると、上の不等式から、$${{{{\left\| {\hat{f}} \right\|}_{q}}=0}}$$が導かれる。これは$${{f\equiv 0}}$$ a.e. を意味するので、問題外である。
したがって、
$${{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1}}$$でなければならない。
 
 これでHausdorff Young の不等式の証明ができたわけではない。しかし、このトリックを知っていると思考の節約ができ、証明のストラテジーを組み立てる事ができる。
トリックは、しばしば使われる常套手段。たとえば
Terrence Tao のブログ

https://terrytao.wordpress.com/2008/08/25/tricks-wiki-article-the-tensor-product-trick/#more-581