ハーディ・ヒルベルト空間H^2

ハーディ・ヒルベルト空間$${{{H}^{2}}}$$
Hardy-Hilbert space
 
$${{{l}^{2}}}$$ , $${{{H}^{2}}}$$ , $${{{\tilde{H}}^{2}}}$$ は同一視できるが、同じものが姿を変えそれらの一面だけを見せている。
もっともポピュラーなヒルベルト空間は、絶対値の2乗和が有限となる複素数の無限列である。$${{{l}^{2}}=\left\{ \left\{ {{a}_{n}} \right\}_{n=0}^{\infty }:\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{\left| {{a}_{n}} \right|}^{2}}<\infty ,{{a}_{n}}\in \mathbb{C}} \right\}}$$
$${\left\{ {{a}_{n}} \right\}_{n=0}^{\infty },\left\{ {{b}_{n}} \right\}_{n=0}^{\infty }\in {{l}^{2}}}$$ に対して
$${\left\{ {{a}_{n}} \right\}_{n=0}^{\infty }+\left\{ {{b}_{n}} \right\}_{n=0}^{\infty }=\left\{ {{a}_{n}}+{{b}_{n}} \right\}_{n=0}^{\infty }}$$
$${c\left\{ {{a}_{n}} \right\}_{n=0}^{\infty }=\left\{ c{{a}_{n}} \right\}_{n=0}^{\infty }}$$,$${c\in \mathbb{C}}$$
により$${{{l}^{2}}}$$ はベクトル空間となる。
ベクトル$${\left\{ {{a}_{n}} \right\}_{n=0}^{\infty }}$$のノルムを
$${\left\| \left\{ {{a}_{n}} \right\}_{n=0}^{\infty } \right\|={{\left( \sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{\left| {{a}_{n}} \right|}^{2}} } \right)}^{1/2}}}$$
$${\left\{ {{a}_{n}} \right\}_{n=0}^{\infty }}$$と$${\left\{ {{b}_{n}} \right\}_{n=0}^{\infty }}$$の内積を
$${\left( \left\{ {{a}_{n}} \right\}_{n=0}^{\infty },\left\{ {{b}_{n}} \right\}_{n=0}^{\infty } \right)=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{a}_{n}}{{{\bar{b}}}_{n}}}}$$
とすることにより、$${{{l}^{2}}}$$はヒルベルト空間である。
 
定義：ハーディ・ヒルベルト空間（Hardy-Hilbert space）
$${\left\{ {{a}_{n}} \right\}_{n=0}^{\infty }\in {{l}^{2}}}$$の各要素 をべき級数の係数とする解析関数の集合$${{{H}^{2}}}$$を考える。すなわち、
$${{{H}^{2}}=\left\{ f:f\left( z \right)=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{a}_{n}}{{z}^{n}}},\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{\left| {{a}_{n}} \right|}^{2}}<\infty } \right\}}$$
とする。このとき、
 $${f\left( z \right)=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{a}_{n}}{{z}^{n}}}}$$,$${g\left( z \right)=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{b}_{n}}{{z}^{n}}}}$$$${\in {{H}^{2}}}$$にたいして内積を$${\left( f,g \right)=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{a}_{n}}{{{\bar{b}}}_{n}}}}$$で
ノルムを$${\left\| f \right\|={{\left( \sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{\left| {{a}_{n}} \right|}^{2}}} \right)}^{1/2}}}$$ で定義する。これにより$${{{H}^{2}}}$$はヒルベルト空間になる。
 
定理$${{{H}^{2}}}$$に属する関数は、単位円内$${\left| z \right|<1}$$ で解析的である。
証明$${f\left( z \right)=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{a}_{n}}{{z}^{n}}}\in {{H}^{2}}}$$, $${\left| {{z}_{0}} \right|<1}$$とする。$${\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{a}_{n}}z_{0}^{n}}}$$が収束することをいえば、$${f\left( z \right)=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{a}_{n}}{{z}^{n}}}}$$は$${\left| z \right|<\left| {{z}_{0}} \right|}$$ で絶対収束して解析的である。$${\left| {{z}_{0}} \right|}$$はかぎりなく１にちかくできるから証明が終わる。$${\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{a}_{n}}z_{0}^{n}}}$$は収束する。なぜなら、$${\left| {{a}_{n}} \right|\le {{\left( \sum\limits_{k=0}^{\infty }{{{\left| {{a}_{k}} \right|}^{2}}} \right)}^{1/2}}=K}$$とおいて
$${\left| \sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{a}_{n}}z_{0}^{n}} \right|\le \sum\limits_{n=0}^{\infty }{\left| {{a}_{n}} \right|{{\left| {{z}_{0}} \right|}^{n}}\le }K\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{\left| {{z}_{0}} \right|}^{n}}=\frac{K}{1-\left| {{z}_{0}} \right|}}<\infty }$$
証明終わり）
このあと、複素平面上の単位円を
$${\mathbb{D}=\left\{ z\in \mathbb{C}:\left| z \right|<1 \right\}}$$ 、
単位円周を
$${{{S}^{1}}=\left\{ z\in \mathbb{C}:\left| z \right|=1 \right\}}$$
という記号で表す。
$${{{z}_{0}}\in \mathbb{D}}$$とする。$${{{K}_{{{z}_{0}}}}:{{H}^{2}}\to \mathbb{C}}$$ で$${{{{K}}_{{{z}_{0}}}}\left( f \right)=f\left( {{z}_{0}} \right)}$$ となるものを考える。これは$${f\in {{H}^{2}}}$$ に対して$${{{z}_{0}}}$$ における値$${f\left( {{z}_{0}} \right)}$$をかえす写像である。（point evaluationと呼ばれる）
$${{{K}_{{{z}_{0}}}}\left( f+g \right)=f\left( {{z}_{0}} \right)+g\left( {{z}_{0}} \right)}$$
$${{{K}_{{{z}_{0}}}}\left( cf \right)=cf\left( {{z}_{0}} \right),c\in \mathbb{C}}$$
により線形写像である。さらに有界性が言える。
定理 $${{{z}_{0}}\in \mathbb{D}}$$にたいして、$${{{K}_{{{z}_{0}}}}}$$ ：$${f\to f\left( {{z}_{0}} \right)}$$ は$${{{H}^{2}}}$$ 上の有界線形汎関数である。
証明：コーシーシュワルツの不等式を用いると
$${\left| f\left( {{z}_{0}} \right) \right|=\left| \sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{a}_{n}}z_{0}^{n}} \right|}$$
$${\le {{\left( \sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{\left| {{z}_{0}} \right|}^{2n}}} \right)}^{1/2}}{{\left( \sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{\left| {{a}_{n}} \right|}^{2}}} \right)}^{1/2}}}$$
$${\le {{\left( \sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{\left| {{z}_{0}} \right|}^{2n}}} \right)}^{1/2}}\left\| f \right\|}$$
したがって、線形汎関数$${{{K}_{{{z}_{0}}}}}$$の作用素としてのノルムは$${\left\| {{K}_{{{z}_{0}}}} \right\|\le {{\left( \sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{\left| {{z}_{0}} \right|}^{2n}}} \right)}^{1/2}}}$$であり有界線形汎関数であることがわかる。
リースの表現理より、有界線形汎関数は内積をもちいて表わされる。具体的にはpoint evaluation が再生核との内積として表されることがわかる。
 
定義：$${{{z}_{0}}\in \mathbb{D}}$$にたいして、
$${{{k}_{{{z}_{0}}}}\left( z \right)=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\bar{z}_{0}^{n}{{z}^{n}}=\frac{1}{1-{{{\bar{z}}}_{0}}z}}}$$ とおく。
$${{{k}_{{{z}_{0}}}}}$$ は$${{{H}^{2}}}$$における の再生核reproducing kernel とよばれる。
$${{{k}_{{{z}_{0}}}}\in {{H}^{2}}}$$である。

定理$${{{z}_{0}}\in \mathbb{D}}$$、$${f\in {{H}^{2}}}$$にたいして、
$${f\left( {{z}_{0}} \right)=\left( f,{{k}_{{{z}_{0}}}} \right)}$$ であり、
$${\left\| {{k}_{{{z}_{0}}}} \right\|={{\left( 1-\left| {{z}_{0}} \right| \right)}^{-1/2}}}$$
である。
証明）$${{{k}_{{{z}_{0}}}}\left( z \right)=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\bar{z}_{0}^{n}{{z}^{n}}}}$$
と
$${f\left( z \right)=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{a}_{n}}{{z}^{n}}}}$$
の$${{{H}^{2}}}$$における内積を考えると
$${\left( f,{{k}_{{{z}_{0}}}} \right)=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{a}_{n}}z_{0}^{n}=f\left( {{z}_{0}} \right)}}$$
がわかる。また、
$${{{\left\| {{k}_{{{z}_{0}}}} \right\|}^{2}}= \left( \sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{\left| {{z}_{0}} \right|}^{2n}}} \right)=\frac{1}{1-{{\left| {{z}_{0}} \right|}^{2}}}}$$
も容易である。
証明終わり）
解析関数列の収束についてつぎの定理が成り立つ。
定理$${\left\{ {{f}_{n}} \right\}\to f}$$ が$${{{H}^{2}}}$$ の距離でなりたつとき、
$${\left\{ {{f}_{n}} \right\}\to f}$$が$${\mathbb{D}}$$の任意のコンパクトな部分集合上で一様収束である（広義一様収束）。
証明
$${{{z}_{0}}\in \mathbb{D}}$$を固定する。
$${\left| {{f}_{n}}\left( {{z}_{0}} \right)-f\left( {{z}_{0}} \right) \right|=\left| \left( {{f}_{n}}-f,{{k}_{{{z}_{0}}}} \right) \right|\le \left\| {{f}_{n}}-f \right\|\left\| {{k}_{{{z}_{0}}}} \right\|}$$
を得る。$${K\subset \mathbb{D}}$$をコンパクト集合として
$${M=\underset{{{z}_{0}}\in K}{\mathop{\sup }}\,\frac{1}{\sqrt{1-{{\left| {{z}_{0}} \right|}^{2}}}}}$$とおくと
$${\left| {{f}_{n}}\left( {{z}_{0}} \right)-f\left( {{z}_{0}} \right) \right|\le M\left\| {{f}_{n}}-f \right\|}$$,
$${{{z}_{0}}\in K}$$
で成り立つ。証明終わり
 
 
この定理によって$${{{H}^{2}}}$$ における解析関数はきわめて扱いやすいものとなっている。$${{{H}^{2}}}$$はまた、よく知られたなじみのある空間$${{{L}^{2}}}$$ の部分空間でもある。
$${{{L}^{2}}={{L}^{2}}\left( {{S}^{1}} \right)}$$ は$${{{S}^{1}}}$$ 上でルベッグ測度で２乗可積分な関数でつくるヒルベルト空間である。その際内積は
$${\left( f,g \right)=\frac{1}{2\pi }\int\limits_{0}^{2\pi }{f\left( {{e}^{i\theta }} \right)}\bar{g}\left( {{e}^{i\theta }} \right)d\theta }$$
でノルムは
$${\left\| f \right\|={{\left( \frac{1}{2\pi }\int\limits_{0}^{2\pi }{{{\left| f\left( {{e}^{i\theta }} \right) \right|}^{2}}}d\theta \right)}^{1/2}}}$$
で定義される。
整数$${n}$$ に対して$${{{e}_{n}}\left( {{e}^{i\theta }} \right)={{e}^{in\theta }}}$$を$${{{S}^{1}}}$$ を定義域とする関数と考えると$${\left\{ {{e}_{n}}:n\in \mathbb{Z} \right\}}$$ は$${{{L}^{2}}}$$ における正規直交基底を構成する。一般に$${f\in {{L}^{2}}}$$はフーリエ級数により
$${f\left( {{e}^{i\theta }} \right)=\sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{{{a}_{n}}{{e}^{in\theta }}}}$$,$${{{a}_{n}}=\left( f,{{e}_{n}} \right)}$$
と表される。 そこで、$${{{L}^{2}}}$$ の部分空間$${{{\tilde{H}}^{2}}}$$を次のように定義する。
$${{{\tilde{H}}^{2}}=\left\{ \tilde{f}\in {{L}^{2}}:\left( \tilde{f},{{e}_{n}} \right)=0,n<0 \right\}}$$
とおく。つまり、$${\tilde{f}\in {{\tilde{H}}^{2}}}$$であるとは、そのフーリエ級数が
$${\tilde{f}\left( {{e}^{i\theta }} \right)=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{a}_{n}}{{e}^{in\theta }}}}$$,
$${\sum\limits_{k=0}^{\infty }{{{\left| {{a}_{k}} \right|}^{2}}}<\infty}$$
となることである。$${{{\tilde{H}}^{2}}}$$は$${{{L}^{2}}}$$における閉部分空間である。$${{{\tilde{H}}^{2}}}$$と$${{{H}^{2}}}$$には自然な同一視ができる。すなわち、$${\tilde{f}\left( {{e}^{i\theta }} \right)=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{a}_{n}}{{e}^{in\theta }}}\in {{\tilde{H}}^{2}}}$$と$${f\left( z \right)=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{a}_{n}}{{z}^{n}}}\in {{H}^{2}}}$$の対応づけにより$${{{\tilde{H}}^{2}}}$$と$${{{H}^{2}}}$$の同型isomorphismがある。これをもうすこし具体的な形で見てみよう。
いま$${0< r<1}$$ に対して
$${{{f}_{r}}\left( {{e}^{i\theta }} \right)=f\left( r{{e}^{i\theta }} \right)=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{a}_{n}}{{r}^{n}}{{e}^{in\theta }}}}$$
を考える。$${{{f}_{r}}\in {{\tilde{H}}^{2}}}$$ はあきらかである。
定理$${\tilde{f}\left( {{e}^{i\theta }} \right)=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{a}_{n}}{{e}^{in\theta }}}\in {{\tilde{H}}^{2}}}$$と$${{{f}_{r}}\left( {{e}^{i\theta }} \right)=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{a}_{n}}{{r}^{n}}{{e}^{in\theta }}}}$$
に対して、$${{{\tilde{H}}^{2}}}$$ の距離（ノルム）で
$${\underset{r\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left\| \tilde{f}-{{f}_{r}} \right\|=0}$$が成り立つ。
証明）$${\varepsilon > 0}$$ を任意にとる。$${\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{\left| {{a}_{n}} \right|}^{2}}}<\infty }$$であるから、$${{{n}_{0}}}$$をうまく選んで
$${\sum\limits_{n={{n}_{0}}}^{\infty }{{{\left| {{a}_{n}} \right|}^{2}}}<\frac{\varepsilon }{2}}$$とできる。また、$${0< s<1}$$をえらび、$${r\in \left( s,1 \right)}$$ にたいして
$${\sum\limits_{n=0}^{{{n}_{0}}-1}{{{\left| {{a}_{n}} \right|}^{2}}}{{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}^{2}}<\frac{\varepsilon }{2}}$$
となるようにする。このとき、
$${{{\left\| \tilde{f}-{{f}_{r}} \right\|}^{2}}={{\left\| \sum\limits_{n=0}^{\infty }{\left( {{a}_{n}}-{{a}_{n}}{{r}^{n}} \right){{e}^{in\theta }}} \right\|}^{2}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{\left| {{a}_{n}} \right|}^{2}}{{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}^{2}}}}$$
であるから
$${{{\left\| \tilde{f}-{{f}_{r}} \right\|}^{2}}=\sum\limits_{n=0}^{{{n}_{0}}-1}{{{\left| {{a}_{n}} \right|}^{2}}{{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}^{2}}}+\sum\limits_{n={{n}_{0}}}^{\infty }{{{\left| {{a}_{n}} \right|}^{2}}{{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}^{2}}}}$$
$${<\frac{\varepsilon }{2}+\sum\limits_{n={{n}_{0}}}^{\infty }{{{\left| {{a}_{n}} \right|}^{2}}<}\frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}=\varepsilon }$$
証明おわり
この結果は重要である。
系　$${f\in {{H}^{2}}}$$ に対してある$${0<{{r}_{n}}<1}$$ をみたす増加列$${\left\{ {{r}_{n}} \right\}\to 1}$$ が存在して
$${\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( {{r}_{n}}{{e}^{in\theta }} \right)=\tilde{f}\left( {{e}^{i\theta }} \right)}$$がほとんどすべての$${\theta }$$ でなりたつ。
証明これは関数列が$${{{L}^{2}}}$$ノルムで収束するとき、同じ関数にほとんどいたるところで収束する部分列が取れるというルベッグ積分論で有名な定理からいえることである。（たとえば、Walter Rudin,Real and ComplexAnalysis,3rd edition,McGrawHill,1986 p.68を見よ）
じつはFatouの定理をつかうと部分列だけでなく数列そのものの収束が言える。$${{{H}^{2}}}$$には何かしら特別な神秘がある。
 
定理$${f}$$ を$${\mathbb{D}}$$で解析的とする。そのとき、
$${f\in {{H}^{2}}}$$ であるための必要十分条件は$${\underset{0 < r <1}{\mathop{\sup }}\,\frac{1}{2\pi }\int\limits_{0}^{2\pi }{{{\left| f\left( r{{e}^{i\theta }} \right) \right|}^{2}}d\theta <\infty }}$$
が成り立つことである。さらに$${f\in {{H}^{2}}}$$にたいして、
$${{{\left\| f \right\|}^{2}}=\underset{0< r<1}{\mathop{\sup }}\,\frac{1}{2\pi }\int\limits_{0}^{2\pi }{{{\left| f\left( r{{e}^{i\theta }} \right) \right|}^{2}}d\theta }}$$
が成り立つ。
証明$${f\left( z \right)=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{a}_{n}}{{z}^{n}}}}$$と書けたとする。
$${0< r<1}$$ のとき、
 $${{{\left| f\left( r{{e}^{i\theta }} \right) \right|}^{2}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\sum\limits_{m=0}^{\infty }{{{a}_{n}}{{{\bar{a}}}_{m}}}}{{r}^{n+m}}{{e}^{i\left( n-m \right)\theta }}}$$
の右辺は$${0< r<1}$$より絶対収束である。
いま、$${\frac{1}{2\pi }\int\limits_{0}^{2\pi }{{{e}^{i\left( n-m \right)\theta }}d\theta ={{\delta }_{n-m}}}}$$ であることを考慮すると、積分と無限和の順序交換ができるので
$${\frac{1}{2\pi }\int\limits_{0}^{2\pi }{{{\left| f\left( r{{e}^{i\theta }} \right) \right|}^{2}}d\theta }=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{\left| {{a}_{n}} \right|}^{2}}{{r}^{2n}}}}$$
となる。したがって、$${\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{\left| {{a}_{n}} \right|}^{2}}{{r}^{2n}}}\le \sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{\left| {{a}_{n}} \right|}^{2}}={{\left\| f \right\|}^{2}}}}$$
つまり、$${\frac{1}{2\pi }\int\limits_{0}^{2\pi }{{{\left| f\left( r{{e}^{i\theta }} \right) \right|}^{2}}d\theta }\le {{\left\| f \right\|}^{2}}<\infty }$$
となる。逆に$${\frac{1}{2\pi }\int\limits_{0}^{2\pi }{{{\left| f\left( r{{e}^{i\theta }} \right) \right|}^{2}}d\theta }<\infty }$$を仮定するとき、
$${\frac{1}{2\pi }\int\limits_{0}^{2\pi }{{{\left| f\left( r{{e}^{i\theta }} \right) \right|}^{2}}d\theta }=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{\left| {{a}_{n}} \right|}^{2}}{{r}^{2n}}}<\infty }$$
であるが、$${f\notin {{H}^{2}}}$$ なら右辺が$${r\nearrow 1}$$ として発散してしまうから矛盾である。証明おわり
$${f\in {{H}^{2}}}$$ に対して
$${\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{\left| {{a}_{n}} \right|}^{2}}=}{{\left\| f \right\|}^{2}}=\underset{0< r<1}{\mathop{\sup }}\,\frac{1}{2\pi }\int\limits_{0}^{2\pi }{{{\left| f\left( r{{e}^{i\theta }} \right) \right|}^{2}}d\theta }}$$
も大切な等式である。
将来のために$${{{H}^{\infty }}}$$ を定義しておく。
定義$${{{H}^{\infty }}}$$ は$${\mathbb{D}}$$ 上で定義された有界な解析関数でつくる線形ノルム空間である。ここで、$${f\in {{H}^{\infty }}}$$のノルムは
$${{{\left\| f \right\|}_{\infty }}=\sup \left\{ \left| f\left( z \right) \right|:z\in \mathbb{D} \right\}}$$
とする。$${{{H}^{\infty }}}$$のノルム収束は、$${\mathbb{D}}$$における一様収束に他ならない。 $${{{H}^{\infty }}}$$はバナッは空間であることも示すことができる。また、定義から、
$${{{H}^{\infty }}\subset {{H}^{2}}}$$
である。
 そして、
定理$${f}$$ は定数関数でなくかつ$${f\in {{H}^{\infty }}}$$ のとき、$${z\in \mathbb{D}}$$に対して
$${\left| f\left( z \right) \right|<{{\left\| f \right\|}_{\infty }}}$$
がなりたつ（不等式に等号がないことに注意）
証明は複素関数論における最大値の原理（解析関数の絶対値の最大値を境界$${{{S}^{1}}}$$上でとる）から従う。