累乗と指数の面白い(?)性質

今回は主に累乗と指数関数についての面白い性質を紹介していきます。今回は前回の意味の分からない虚数$${i}$$の性質よりも分かりやすく簡単なものだと思います(多分)。

↓前回の記事

指数関数の公式

まずは指数関数の公式です。下に証明を書いておきます。

1. $${x^m\times x^n=x^{m+n}}$$

2. $${(x^m)^n=(x^n)^m=x^{mn}}$$

3. $${x^\frac{n}{m}=\sqrt[m]{x^n}=(\sqrt[m]{x})^n}$$

１の証明

$$
x^m\times x^n\\
=(x\times x\times …\times x(m個))\times(x\times x\times…\times x(n個))\\
=x\times x\times x\times x\times… \times x\times x  (m+n個)\\
=x^{m+n}
$$

２の証明

$$
(x^m)^n\\
=(x\times x\times…\times x)(x\times x\times…\times x)…(x\times x\times…\times x)\\
x\times x\times x\times …\times x  (xはm\times n個)\\
=x^{mn}\\
また、m\times n=n\times mより、\\
x^{mn}=x^{nm}=(x^n)^m
$$

３の証明

$$
(x^m)^n=x^{mn}より、(x^\frac{1}{a})^a=xとなる。\\
よって、x^\frac{1}{a}=\sqrt[a]{x}である。\\
このことより、x^\frac{n}{m}=(x^\frac{1}{m})^n=(\sqrt[m]{x})^n\\
また、(\sqrt[m]{x})^n=\sqrt[m]{x}\times\sqrt[m]{x}\times…\sqrt[m]{x}\\
=\sqrt[m]{x\times x\times…\times x}=\sqrt[m]{x^n}
$$

累乗の差の性質①

累乗の差には次のような性質があります。

$$
a^n\pm b^nはa\pm bの倍数になる。\\
(ただし、a^n+b^nはn>2の場合のみ成立する)
$$

これの証明は2通りあります。

公式を利用した証明

$$
a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+…+ab^{n-2}+b^{n-1})\\
a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…)\\
※a^n+b^nの右側の括弧は偶数番目の項が-になる
$$

この公式から$${a^n\pm b^n}$$は$${a\pm b}$$の倍数になることが分かります。

因数定理を利用した証明

因数定理とは下のような定理です。

$$
P(x)が(x-\alpha)を因数に持つとき、P(\alpha)=0
$$

$${a^n\pm b^n}$$は$${a\pm b}$$の倍数になることは$${a^n\pm b^n}$$は$${a\pm b}$$を持つことと同じなので、これを利用して$${a^n\pm b^n}$$は$${a\pm b}$$の倍数になることを証明できます。

$$
P(a)=a^n\pm b^nとし、\\
P(a)がa\pm bを因数に持つとすると、P(\mp b)=0になる。\\
実際に代入すると、\\
\mp b^n\pm b^n=0となるので、P(a)はa\pm bを因数に持つ。
$$

累乗の差の性質②

累乗の差の性質をもう1つ紹介します。

$$
nが自然数のとき、a^n-(a-n)^nの値は常にnの倍数である。
$$

これの証明は意外と簡単にできます。証明には二項定理を使います。(二項定理の説明はここでは省略します。)

$$
a^n-\{a+(-n)\}^n\\
=a^n-\{a^n+{}_nC_1a^{n-1}(-n)+{}_nC_2a^{n-2}(-n)^2+…\\
…+{}_nC_ka^{n-k}(-n)^k+…+{}_nC_{n-1}a(-n)^{n-1}+(-n)^n\}\\
={}_nC_1a^{n-1}(-n)+{}_nC_2a^{n-2}(-n)^2+…\\
…+{}_nC_ka^{n-k}(-n)^k+…+{}_nC_{n-1}a(-n)^{n-1}+(-n)^n\\
(-n)^kはnの倍数になるから、全ての項がnの倍数になる。\\
よって、この多項式はnを因数に持つため、\\
a^n-(a-n)^nの値はnの倍数である。
$$

このことは$${a^n-(a-n)^n}$$だけでなく$${(a+n)^n-a^n}$$などでも成立します。