コンマ圏

コンマ圏の定義と考える理由を解説していく.

定義

$${\mathcal{C_0,C_1,D}}$$を圏,  $${F\colon\mathcal{C_0\to D}}$$,$${G\colon\mathcal{C_1\to D}}$$を関手とする.  このときコンマ圏$${F\darr G}$$は以下からなる.

対象は三つ組$${< c_0,c_1,f>}$$で,  $${c_0}$$は$${\mathcal{C_0}}$$の対象,  $${c_1}$$は$${\mathcal{C_1}}$$の対象,  $${f\colon Fc_0\to Gc_1}$$は$${\mathcal{D}}$$の射.

射は二つ組$${< g_0,g_1>}$$で,  コンマ圏の対象を$${< c_0,c_1,f>}$$,  $${< c_0',c_1',f'>}$$としたとき,  $${g_0\colon c_0\to c_0'}$$,  $${g_1\colon c_1\to c_1'}$$で,  $${Gg_1\circ f=f'\circ Fg_0}$$を満たす.

性質

コンマ圏$${F\darr G}$$に対し,  次のような関手$${P_0,P_1}$$が定められる.

対象$${< c_0,c_1,f>}$$に対し,  $${P_0(< c_0,c_1,f>)=c_0}$$.  射$${< g_0,g_1>}$$に対し,  $${P_0(< g_0,g_1>)=g_0}$$.
対象$${< c_0,c_1,f>}$$に対し,  $${P_1(< c_0,c_1,f>)=c_1}$$.  射$${< g_0,g_1>}$$に対し,  $${P_1(< g_0,g_1>)=g_1}$$.

また,  ここには自然変換$${\theta\colon F\circ P_0\Longrightarrow G\circ P_1}$$が定められる.

コンマ圏の対象$${< c_0,c_1,f>}$$に対し,  $${\theta_{< c_0,c_1,f>}\colon Fc_0\to Gc_1}$$を$${\theta_{< c_0,c_1,f>}=f}$$と定める.

コンマ圏はpullbackと似ているが,  射の合成が可換になる代わりに,  関手の間の自然変換を考える.  こうすることで,  $${=}$$よりも一般的な場合について議論できる.