TeX備忘録

ここはTeXの練習と,  コマンドを忘れた時に見にこれる場所にしたい.  といっても,  ただやるのは無味乾燥なので,  全回話した実行列の標準形についてかきつつ,  適当に定理の証明をしようと思う.

実正規変換の標準形

$${\alpha=a+bi}$$を$${b>0}$$である実正規変換$${F}$$の重複度$${m}$$の固有値とし,  $${A}$$をその表現行列とする.  このとき$${\overline\alpha}$$も$${F}$$の固有値であり,  固有空間$${\bm{W}(\alpha),\bm{W}(\overline\alpha)}$$は同一次元であり,  この二つは互いに直交する.  $${\bm{W}(\alpha)}$$の正規直交基底を$${\{w_1,\cdots,w_m\}}$$ととると,  $${\{\overline{w}_1,\cdots,\overline{w}_m\}}$$は$${\bm{W}(\overline\alpha)}$$の正規直交基底となる.  このときまた$${\{w_1,\cdots,w_m,\overline{w}_1,\cdots,\overline{w}_m\}}$$は$${\bm{W}(\alpha)\oplus\bm{W}(\overline\alpha)}$$の正規直交基底となり,  これらに対し, 
$${u_1'={w_1+\overline{w}_1\over\sqrt2},\cdots,u_m'{w_m+\overline{w}_m\over\sqrt2},v_1'={i(w_1-\overline{w}_1)\over\sqrt2},\cdots,v_m'={i(w_m-\overline{w}_m)\over\sqrt2}}$$
とすると,  $${\{u_1',v_1',\cdots,u_m',v_m'\}}$$は実ベクトルであり,$${w_i=u_i+iv_i}$$とすると,  $${u_i'=\sqrt{2}u_1,v_i'=-\sqrt{2}v_i}$$となり,  $${\{u_1,v_1,\cdots,u_m,v_m\}}$$は$${\bm{W}(\alpha)\oplus\bm{W}(\overline\alpha)}$$の正規直交基底となる.$${\bm{W}(\alpha)\oplus\bm{W}(\overline\alpha)=(U(a,b))_{\bm{c}}}$$となる実$${2m}$$次元空間$${U(a,b)}$$をとると,  $${F}$$の$${U(a,b)}$$への制限を$${\{u_1,v_1,\cdots,u_m,v_m\}}$$に関して表現する行列は
$${\begin{pmatrix*}[r]a&-b\\b&a\\&&\ddots\\&&&a&-b\\ & & &b&a\end{pmatrix*}}$$
となる.  今日は疲れたのでこの辺で,  後日続きを上げます.