20100208　角度の単位

　角度に単位はあるのか。単位とは基準となる一定量を表すものである。この一定量は約束事だから何でもいい筈だ。例えばメートル法$${^{*1}}$$における長さの基本単位は「1メートル$${^{*2}}$$」で、これは子午線の北極から赤道迄の距離の一千万分の一の長さを基にして定義された単位$${^{*3}}$$である。時間であれば「1秒$${^{*4}}$$」が基本単位だろう。質量であれば「1kg」や「1g」が基本になっている。これらは自然の現象などが基になっているので、その単位を呈示しろと言われれば何となくできそうな代物だ。

　温度の単位$${^{*5}}$$は難しい。一般的には、温度は温度計の目盛りとして目に触れることができる。しかし目盛りの間隔は相対的なものだ。温度計$${^{*6}}$$が大きければ目盛りの間隔も広くなるので、長さや質量の単位とは違う。しかし温度計の大きさを厳密に決めてやればそれが単位になるかもしれない。温度の物理学の定義は熱力学を用いてなされている$${^{*7}}$$。とは言え実用上は、基となる「温度計」が決められていてそれに振られている目盛り$${^{*8}}$$が温度の基準になっている。

　角度はどうか。角度は直感的にも長さや質量、時間、温度と比べると相対的なものにしか思えない。分度器$${^{*9}}$$や直角定規$${^{*10}}$$など角度を測るものはあるが、角度自体が二本の直線の交差する部分だけに注目するので、何となく中途半端というか尻切れとんぼの様な気がしてならない。そんな角度に「単位」と言う概念を当てはめることができるのだろうか。

　全周は360度$${^{*11}}$$になる。360度$${^{*12}}$$となると角(かど)がないので「角」度と言い難いし、作図をすれば0度と同じとなってこれまた他の量と性質が随分違う。この全周の360度の1/360の「1度」が角度の単位になるのか。全周を360度としたのは単なる決め事である。使い勝手は別にして、それが100度でも400度であっても辻褄は合う。だが、その1/360を単位とするのは変だ。それならば360度を単位と考えればいいのか。こうなると単位を考える意味がない。

　定規とコンパスとで作図$${^{*13}}$$できる最小の整数で表せる角度を考えてはどうか。例えば正五角形$${^{*14}}$$は定規とコンパスで作図できる。すると72度が得られる。正三角形$${^{*15}}$$からは60度が得られるので、これを組み合わせれば更に小さい12度が得られることになる。この角度の二等分を二回繰り返せば「3度」が得られる。これを新しい角度の単位として「1度(元々の全周が360度の場合は『3度』)」にする。全周は新角度120度になる。いや、こんなのは意味がない。360度の呪縛$${^{*16}}$$から離れていない。定規とコンパスとで作図できる正n角形のnはいくらでも増やすことができる$${^{*17}}$$ので、作図できる一定の角度はいくらでも小さくできる。

　弧度法$${^{*18}}$$と言うのがある。全周を何等分するという考え方ではなく、角の頂点を中心にして同じ角度を持つ半径1の弧を描いたときの弧の長さを角度とする。長さなので単位という概念が通用しそうだが、結局は弧の半径と弧の長さとの比(半径1の弧が基準だから)なので単位を定義するのは違和感がある。ただ、角度を表しているのに単位名も何もないと気持ちが悪いので「ラジアン」と言う名前が与えられている。

*1　昭和毎日：メートル法実施 - 毎日ｊｐ(毎日新聞)
*2　20000115　1メートル
*3　20020726　一秒と1メートル
*4　時間
*5　20010522　温度の単位(2)
*6　TFA.jpg
*7　温度を測る話
*8　温度
*9　分度器
*10　台付スコヤ（1級・焼入）/M427DS1-0450U/測定/包装/物流/専門 - 株式会社シロ産業
*11　20010521　温度の単位(1)
*12　20021120　1ドル360円
*13　定規とコンパスの数学
*14　コンパスと定規を使った正五角形の描き方／図形の描き方015a＠夏貸文庫
*15　コンパスを使った正三角形のかき方【三角形と角】小3算数
*16　20030717　正十七角形
*17　正多角形の作図可能性の条件 | 高校数学の美しい物語
*18　弧度法（ラジアン）