証明シリーズ｟数列編｠

はじめに

数列の定義や公式が「なぜ成り立つのか」を1つ1つ説明します。

これまでの試験や入試では、ただ公式を覚えて使えれば点数が取れるという形が根強かったかも知れません。しかし、今年度からスタートした共通テストでは、数学を活用する力、すなわち「思考力、判断力、表現力」が重視されます。
具体的な値を代入して答えを出すだけにとどまらず、一般化してより抽象的な概念の理解を問うような出題に対応していく必要があります。そして、そういった数学的思考力を鍛えるのにちょうど良い教材が、教科書の「公式」の証明なのです。

「なぜ」と疑問に思ったときが、理解を深めるチャンスです。ときには立ち止まって、1つずつ納得しながら数学を学んでいくことも重要です。私は、その姿勢こそ、真の数学力を高めていく上で必要だと思っています。

講義1 等差数列の和の公式

この公式がなぜ成り立つのか、具体例を用いながら説明します。

講義2 等比数列の和の公式

ポイントは、公比＝1、公比≠1で場合分けがあるということです。なぜ、場合分けして考える必要があるのか、なぜこのような式になるのかを説明します。

また、この公式の証明に用いる手法は、このあとに出てくる(等差)×(等比)の数列を考える際に使う「ズラ引き」というアイデアのもとになっています。

ただの丸暗記ではなく、本質を理解することで、公式を忘れてしまっても、すぐに公式を再構築することが可能です。大事なことは、公式がなぜ成り立つのか、どうやってできているのかを理解することです。

講義3 シグマk^2の証明(教科書の方法）

この公式は、数列分野ではもちろん、他分野でも使用頻度は高く、道具として必須中の必須です。
ただ、この公式の証明については自分では思いつくのは難しいかもしれません。だからこそ、この発想や証明の本質を理解して、自分の知識として蓄えて欲しいところです。また、この公式の証明は応用が利きます。これは2乗の場合の証明ですが、3乗や4乗の場合も、考えることができます。

また、この証明方法は複数ありますので、機会があれば紹介していきたいと思います。

今回は、教科書に載っている方法です。