部分分数分解の公式の納得できなかったところ
こんにちは。
久々の記事になります。
最近仕事と数検1級に向けた勉強に時間を全振りしていて、記事を書く時間を捻出できませんでした。
これはいかん！！
ということで、久々に記事を書きます。
内容は、数学の「部分分数分解」というやつです。
数検1級に向けた勉強をしていて、なぜ？と感じたところだったので自分なりにまとめました。
もし、高校生で同じ疑問を持っている方がいらっしゃれば、一助になると幸いです。
１ 部分分数分解とは？
部分分数分解について、簡単に説明します。
なんだか早口言葉にありそうな単語ですね笑
部分分数分解とは、ある分数の式を2つ以上の分数の式に分解することです。
言葉だけだと分かりにくいので、具体例を示します。
例
$${\frac{1}{x^2-1}}$$を部分分数分解すると、
$${\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{2}(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1})}$$
左辺は1つの分数の式だったものが、2つの分数の式に分解できました。
２ なぜ部分分数分解をするの？
なぜこんなことをするのか？と思いますよね。
実は部分分数分解することで、積分ができるようになるからなんです。
分数関数の積分に関しては、本題とずれてしまうので、この記事では取り上げません。
もしご興味ある方は参考書で確認いただければと思います。
３ 分母の次数と分子の次数の関係
部分分数分解したとき、一般的には分母の次数より分子の次数が１だけ小さくなるように部分分数分解します。
具体的には、下の例の通りです。
４ 納得できない公式
数検１級の参考書の問題と、公式を示します。
問題 次の式を部分分数分解しなさい。
この公式で納得できないところは、下の図１の赤で示した部分です。
一般的には、分子の次数は分母の次数より１だけ小さくなるように部分分数分解しますが、図の赤で示した部分は次数が２小さいです。
これが公式で示されていますが、納得できませんでした。
５ 公式を納得できるようにする
では上の図の公式の納得できないところを解決します。
まず一般的な形、つまり分母の次数が分子の次数より１だけ小さい形に部分分数分解したと考えます。（図２）
図２の右辺の第１項に注目して、次のような式変形をします。（図３）
図３の最後の行の第２項を見てください。
分母は$${(x-1)^2}$$で次数は２、分子は$${A+B}$$で次数は０。（図４）
よって、公式のような形に変形できると分かります。
公式を導きます。
図５の最後の式のA+B、A+Cを改めてそれぞれA , Bとする。
またDをC、EをDにする。
６ 一般的に・・・
今回は、分母が$${(x-1)^2}$$でした。
では、$${(x-1)^2}$$が$${(x-1)^3}$$だったら、その部分分数分解したときの分子の次数はどうなるでしょうか。
もし部分分数分解すると、次のような形のはずです。（図６）
右辺の第一項に注目して、次のような変形をします。
図７の最後の式の分子の次数は、すべて０です。
この結果から予想できるのは、分母に$${(x+a)^n}$$（$${a}$$は任意の実数）が含まれる式を部分分数分解をすると、分子の次数は必ず０だということです。
７ 最後に
今回は数学検定１級の勉強をする中で疑問に感じたところを解決できました。
細かいところですが、１つ１つ納得しながら進むというのも大事だと思います。
最後まで読んでいただき、ありがとうございました！！
