どんな数にも魔法をかけてご覧いれます〜魔方陣を作るまでの道のり①（定和）

１　はじめに

　これまでに4×4や8×8の魔方陣を作りました。

また$${4k}$$次魔方陣は、なぜ市松模様を利用して作れるのか証明をしました。

　ではもっと一般的に、$${n}$$次魔方陣は作れるのか、それは市松模様を利用できるのか考察していきます！
　タイトルには、「どんな数にも」と書いておりますが、「任意の数」で魔方陣を作るのではなく、1〜$${n^2}$$の数を使った$${n}$$次魔方陣を作ることを考えます。

２　n次魔方陣に市松模様は利用できるか？

　$${4k}$$次魔方陣は、市松模様を利用して魔方陣が作れることを示すことができました。
　ではそれ以外の魔方陣は市松模様を利用して作れるのか？
　結論からいうと、できません。
　以前私が書いた「証明する」記事を見ていただくとその理由は明白です。
　市松模様を利用して魔方陣を作る場合、中心に関する対称移動をします。つまり中心に関して対称の位置に2つの数がないとできません。下に５次魔方陣を例に挙げていますが、そもそもどこが中心かわかりませんし、中心を3行目にある数字と3列目にある数字を中心としたら、これは緑と黒のどちらを塗ればいいのかわかりません。

４次魔方陣をつくる場合、上のように中心に関して緑と黒のマスが半分にしないといけない

５次魔方陣を作ろうとしても、中心がわからない

３　n次魔方陣の各行、各列、斜めの和はいくつなの？

　数字を入れ替えるための目標は、縦、横、斜めの数の和をそろえることでした。では、$${n}$$次魔方陣の各行、各列、斜めの和はいくつになるように数を移動すればいいか考察します！

　ここで１つ、新しい用語です。
　$${n}$$次魔方陣の各行、各列、斜めの和の値を、$${n}$$次魔方陣の定和といいます。

　ではまず、５次魔方陣の定和を考えてみます。
　５次魔方陣には、１～２５が１個ずつマスに書かれています。また、行と列の数は５個ずつです。
　このことから、１～２５の数がどこに書かれるか分からなくても、１～２５の和を５で割った値が定和になるといえます。
$${1+2+…+25=325}$$だから、それを5で割った65が定和になります。

　これを利用して、$${n}$$次魔方陣の定和を求めます。
　$${n}$$次魔方陣には、$${1～n^2}$$が１つずつ書かれています。その和は、
　$${1+2+3+…+n^2=\frac{1}{2}n^2(n^2+1)}$$
　行と列の数はそれぞれ$${n}$$個あるから、上の値を$${n}$$で割ります。
　$${\frac{1}{2}n^2(n^2+1)÷n=\frac{1}{2}n(n^2+1)}$$
　これが$${n}$$次魔方陣の定和です。

４　おわりに

　今回、$${n}$$次魔方陣の定和を求めることができました。
　これで市松模様は使えませんが、数字を入れ替える「目標」のようなものができたのではないかと思います。
　次回の記事では、$${n=1,2,3}$$の魔方陣を考察して、$${n}$$次魔方陣を作る手順のきっかけを掴めればと思います。
　最後まで読んでいただき、ありがとうございました！