【高校数学Ⅲ】指数と底が変数なら対数微分法！

１　よくある間違い

　高校で数学を学習すると、ほとんどの人が微分積分というものを学習します。その中でも最も基本的な微分は、$${y=x^n  (nは定数)}$$の微分です。この式を$${x}$$で微分すると、
　$${y'=nx^{n-1}}$$　・・・①
となります。例えば、$${y=x^2}$$を微分すると、$${y'=2x^{2-1}=2x}$$という感じです。じゃあ$${y=x^x}$$を微分すると、
　$${y'=xx^{x-1}}$$　
と考えますよね？でもこれは間違いなんです！！

２　そもそも微分とは？を考えると分かる！！

　$${y=f(x)}$$微分は、次のように表されます。
　$${y'=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$　・・・②
　$${y=x^n  (nは定数)}$$を微分すると、$${y'=nx^{n-1}}$$になるのは、②を使って
　$${y'=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}}$$
   　$${=\lim_{h \to 0}\frac{x^n+_nC_1x^{n-1}h+_nC_2x^{n-2}h^2+…+h^n-x^n}{h}}$$
  　 $${=\lim_{h \to 0}\frac{_nC_1x^{n-1}\cancel{h}+_nC_2x^{n-2}h^1+…+h^{n-1}}{\cancel{h}}}$$
  　 $${=nx^{n-1}$$
だからです。
　じゃあ$${y=x^x}$$の微分は、②の式を使って
　$${y'=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^{x+h}-x^n}{h}}$$
となります。ここで分子の$${(x+h)^{x+h}}$$なんですが、どう展開していいか困るんです。なぜなら底にも指数にも変数$${x}$$が入っているから！！！

３　『底』も『指数』も変数⇒『指数』のみ変数にする式変形を考える

　では見出しの通り、指数のみ変数$${x}$$にする式変形を考えます。
　$${y=x^x=e^{\log{x^x}}=e^{x\log{x}}}$$・・・③と変形すればいいんです。これで『底』は定数で、『指数』は変数にできたので微分します。
　$${y'=e^{x\log{x}}×(x\log{x})'}$$
　　$${=e^{\log{x^x}}×(\log{x}+1)}$$
　　$${=x^x(\log{x}+1)}$$

４　『底』も『指数』も変数⇒積の形に変形する対数微分法

　$${y=x^x}$$は、両辺とも正の数なので、両辺に自然対数をとると、
　$${\log{y}=\log{x^x}}$$
　$${\log{y}=x\log{x}}$$
　両辺を$${x}$$で微分すると、
　$${\frac{y'}{y}=\log{x}+1}$$
　$${y'=y×\log{x}+1}$$
　$${y'=x^x(\log{x}+1)}$$
　３で示した方法でも可能ですが、対数微分法の方が形式的にできるので、学校ではこちらの方法を教えますね！
　他にも$${y=x^{\frac{1}{x}}}$$、$${y=x^{\sin{x}}}$$に対数微分法は使えます。

５　最後に・・・

　今回は$${y=x^x}$$の微分を考えました。
　じゃあ、$${y=x^{x^x}}$$の微分はどんな結果になるだろう？
　$${y=x^{x^{x^x}}}$$の微分は？
　このように、$${y=x^x}$$の微分ができたから終わりではなく、これをきっかけに「こんな場合は？」と考えていくことが数学の力を高めることにつながります。