Gronwallの補題を丁寧に証明してみる
Lemma (Gronwall's inequality)
$${u(t), f(t), K(t)}$$は区間$${[a, b]}$$で連続な関数で,この区間上$${K(t)\geq 0}$$であるとする.任意の$${t \in [a, b]}$$に対して
が成り立つならば任意の$${t \in [a, b]}$$に対して
が成り立つ.
証明
$${U(t) = \int_a^t K(s) u(s) ds}$$とおくと,Lemmaの仮定より$${u(t)\leq f(t) + U(t)}$$となる.ゆえに,
$$
\begin{align*}
U'(t) &= \frac{d}{dt}\int_a^t K(s)u(s)ds\\
&= K(t)u(t)\\
&\leq K(t)f(t) + K(t)U(t)
\end{align*}
$$
となる.ここで,
$$
k(t) = \exp{\left( \int_a^t -K(\tau)d\tau \right)}
$$
とおくと,
$$
k(t)U(t) = \int_a^t K(s)u(s)ds \cdot\exp{\left( \int_a^t -K(\tau)d\tau \right)}
$$
となり,両辺を$${t}$$で微分すると
$$
\begin{align*}
(k(t)U(t))' &= K(t)u(t)\exp{\left( \int_a^t -K(\tau)d\tau \right)} \\&+ \int_a^t K(s)u(s)ds\cdot(-K(t))\exp{\left( \int_a^t -K(\tau)d\tau \right)}\\
&\leq K(t)\left( f(t) + \int_a^t K(s)u(s)ds \right)\exp{\left( \int_a^t -K(\tau)d\tau \right)}\\
&+\int_a^t K(s)u(s)ds\cdot(-K(t))\exp{\left( \int_a^t -K(\tau)d\tau \right)}\\
&=K(t)f(t)\exp{\left( \int_a^t -K(\tau)d\tau \right)}
\end{align*}
$$
を得る.最左辺と最右辺について,$${a}$$から$${t}$$まで積分し,積分変数を$${s}$$とすると
$$
\begin{align*}
k(t)U(t)\leq\int_a^t K(s)f(s)\exp{\left( \int_a^s -K(\tau)d\tau \right)}ds
\end{align*}
$$
となる.Lemmaの仮定より
$$
\begin{align*}
\{u(t) - f(t)\}\exp{\left( \int_a^t -K(\tau)d\tau \right)} &\leq\int_a^t K(s) u(s)ds\exp{\left( \int_a^t -K(\tau)d\tau \right)}\\
&=k(t)U(t)
\end{align*}
$$
に注意すると
$$
\begin{align*}
\{u(t) - f(t)\}\exp{\left( \int_a^t -K(\tau)d\tau \right)} \leq\int_a^t K(s)f(s)\exp{\left( \int_a^s -K(\tau)d\tau \right)}ds
\end{align*}
$$
と下から評価することができる.両辺に$${\exp{\left( \int_a^t K(\tau)d\tau \right)}}$$をかけると
$$
\begin{align*}
u(t)-f(t)&\leq\int_a^t K(s)f(s)\exp{\left( \int_a^s -K(\tau)d\tau \right)}ds\exp{\left( \int_a^t K(\tau)d\tau \right)}\\
&=\int_a^t K(s)f(s)\exp{\left( \int_a^t K(\tau)d\tau-\int_a^s K(\tau)d\tau\right)}ds\\
&=\int_a^t K(s)f(s)\exp{\left( \int_a^t K(\tau)d\tau+\int_s^a K(\tau)d\tau\right)}ds\\
&=\int_a^t K(s)f(s)\exp{\left( \int_s^t K(\tau)d\tau\right)}ds
\end{align*}
$$
が得られ,したがって所望の不等式
$$
u(t) \leq f(t) + \int_a^t K(s) f(s) \exp\left( \int_s^t K(\tau) d\tau\right) ds
$$
の成立が示された.□
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