数学と証明と物語と。【第7話】4次方程式の解法、オイラーの公式
数学研究部の朝は早い。私だけね。
午前7時に部室へとやってきた私はさっそくノートを広げる。まっさらな白紙。日付を書く。全開にした窓から涼しい風が吹いてきて、私の切り揃えた前髪を揺らす。心地よい。
朝が最も脳の働きが良い、そんな話を耳にした私は「数学朝活」なるものを始めることにした。数学と戯れながら世界がゆっくりと目を覚ます様子を観察する算段だ。いつもの賑やかな学校が嘘みたいにひっそりとしている。
ペンを握る。リラックス。私と数学だけが世界にある。いや、数学という広大な宇宙の中を私は泳いでいる。今ならどこまででも泳いで行けそうだ。点と点を結んで線を描くように。
4次方程式
$$
x^4+ax^3+bx^2+cx+d = 0
$$
において
$$
x = y - \frac{a}{4}
$$
とおくと、与式は
$$
y^4 + py^2 + qy + r = 0
$$
と表せる。
まずはこのことを証明しよう。
【証明開始】4次方程式 $${x^4+ax^3+bx^2+cx+d = 0}$$ に $${x = y - \frac{a}{4}}$$ を代入する。
$$
\def\arraystretch{2.0}
\begin{array}{}
x^4+ax^3+bx^2+cx+d &=& 0 \\
(y - \frac{a}{4})^4 + a(y - \frac{a}{4})^3 + b(y - \frac{a}{4})^2 + c(y - \frac{a}{4}) + d &=& 0 \\
\end{array}
$$
ここで
$$
\def\arraystretch{2.0}
\begin{array}{}
c(y - \frac{a}{4}) &=& cy - \frac{1}{4}ac \\
b(y - \frac{a}{4})^2 &=& by^2 - \frac{1}{2}aby + \frac{1}{16}a^2b \\
a(y - \frac{a}{4})^3 &=& ay^3 - \frac{3}{4}a^2y^2 + \frac{3}{16}a^3y - \frac{1}{64}a^4 \\
(y - \frac{a}{4})^4 &=& y^4 - ay^3 + \frac{3}{8}a^2y^2 - \frac{1}{16}a^3y + \frac{1}{256}a^4
\end{array}
$$
なので
$$
y^4 + (b - \frac{3}{8}a^2)y^2 + (\frac{a^3}{8} - \frac{ab}{2} + c)y + (\frac{a^2b}{16} - \frac{3}{256}a^4 - \frac{ac}{4} + d) = 0
$$
である。さらに
$$
\def\arraystretch{2.0}
\begin{array}{}
p &=& b - \frac{3}{8}a^2 \\
q &=& \frac{a^3}{8} - \frac{ab}{2} + c \\
r &=& \frac{a^2b}{16} - \frac{3}{256}a^4 - \frac{ac}{4} + d
\end{array}
$$
とおけば
$$
y^4 + py^2 + qy + r = 0
$$
となる。【証明終了】
次に
$$
y^4+py^2+qy+r=0
$$
において
$$
2y=u+v+w
$$
とおく。
このとき $${u^2, v^2, w^2}$$ が
$$
t^3 + 2pt^2 + (p^2-4r)t - q^2 = 0
$$
の根であり、それらを $${t_1, t_2, t_3}$$ としたとき、
$$
\def\arraystretch{2.0}
\begin{array}{}
x_1 &=& \frac{\sqrt{t_1}+\sqrt{t_2}+\sqrt{t_3}}{2} \\
x_2 &=& \frac{\sqrt{t_1}-\sqrt{t_2}-\sqrt{t_3}}{2} \\
x_3 &=& \frac{-\sqrt{t_1}+\sqrt{t_2}-\sqrt{t_3}}{2} \\
x_4 &=& \frac{-\sqrt{t_1}-\sqrt{t_2}+\sqrt{t_3}}{2}
\end{array}
$$
であることを証明する。
【証明開始】まず $${y^4+py^2+qy+r=0}$$ に $${y=\frac{1}{2}(u+v+w)}$$ を代入する。
$$
\def\arraystretch{2.0}
\begin{array}{}
y^4+py^2+qy+r &=& 0 \\
\frac{1}{2^4}(u+v+w)^4 + \frac{p}{2^2}(u+v+w)^2 + \frac{q}{2}(u+v+w) + r &=& 0 \\
\frac{1}{16}(u^2+v^2+w^2)^2 + \frac{1}{4}(u^2+v^2+w^2)(uv+vw+wu) + \frac{1}{4}(u^2v^2+v^2w^2+w^2u^2) + \frac{1}{2}uvw(u+v+w)+\frac{p}{4}(u^2+v^2+w^2) + \frac{p}{2}(uv+vw+wu) + \frac{q}{2}(u+v+w) + r &=& 0 \\
\frac{1}{16}(u^2+v^2+w^2)^2 + \frac{1}{4}\lbrace(u^2+v^2+w^2)+2p\rbrace(uv+vw+wu) + \frac{1}{4}(u^2v^2+v^2w^2+w^2u^2)+\frac{p}{4}(u^2+v^2+w^2)+\frac{1}{2}(uvw+q)(u+v+w) + r &=& 0 \cdots①
\end{array}
$$
ここで
$$
\def\arraystretch{2.0}
\begin{array}{}
u^2+v^2+w^2 + 2p &=& 0 \\
uvw + q = 0 \\
\end{array}
$$
とおけば、
$$
\def\arraystretch{2.0}
\begin{array}{}
u^2+v^2+w^2 &=& -2p \cdots② \\
uvw &=& -q \;\;\cdots③ \\
u^2v^2w^2 &=& q^2 \;\;\;\cdots④
\end{array}
$$
となる。
ここで②と③を①に代入すると、
$$
\def\arraystretch{2.0}
\begin{array}{}
\frac{1}{16}(-2p)^2+\frac{1}{4}(u^2v^2+v^2w^2+w^2u^2)+\frac{p}{4}(-2p)+r&=&0 \\
u^2v^2+v^2w^2+w^2u^2 &=& p^2 - 4r \cdots⑤
\end{array}
$$
となる。
ここで3次方程式の根と係数の関係を思い出すと、
$$
ax^3+bx^2+cx+d=0\;(a \not = 0)
$$
の三つの根を $${\alpha, \beta, \gamma}$$ としたとき、
$$
\def\arraystretch{2.0}
\begin{array}{}
\alpha + \beta + \gamma = - \frac{b}{a} \\
\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a} \\
\alpha\beta\gamma = - \frac{d}{a}
\end{array}
$$
である。つまり②と④と⑤より、$${u^2, v^2, w^2}$$ を根とする3次方程式は、
$$
t^3 + 2pt^2 + (p^2 - 4r)t - q^2 = 0
$$
となる。ここでこの3次方程式の三つの根を $${t_1, t_2, t_3}$$ とおくと、
$$
\def\arraystretch{2.0}
\begin{array}{}
u^2 &=& t_1 \\
v^2 &=& t_2 \\
w^2 &=& t_3
\end{array}
$$
となるので、
$$
\def\arraystretch{2.0}
\begin{array}{}
u &=& \pm \sqrt{t_1} \\
v &=& \pm \sqrt{t_2} \\
w &=& \pm \sqrt{t_3}
\end{array}
$$
である。
以上より、$${2y=u+v+w}$$ と③を満たす四つの根は、
$$
\def\arraystretch{2.0}
\begin{array}{}
x_1 &=& \frac{\sqrt{t_1}+\sqrt{t_2}+\sqrt{t_3}}{2} \\
x_2 &=& \frac{\sqrt{t_1}-\sqrt{t_2}-\sqrt{t_3}}{2} \\
x_3 &=& \frac{-\sqrt{t_1}+\sqrt{t_2}-\sqrt{t_3}}{2} \\
x_4 &=& \frac{-\sqrt{t_1}-\sqrt{t_2}+\sqrt{t_3}}{2}
\end{array}
$$
である。【証明終了】
うん、疲れた。この証明は合っているのだろうか。あんまり自信はない。だけど、とりあえずはやり切った。間違っていたら誰か教えてほしい。私一人の力には限界があり、あなたの協力なしに成功はないのだ。
ということで、今日一日の体力を使い切ってしまった。それなのにまだ8時。これから授業が始まる。今日を乗り切れる気がしないよね、と弱音を吐いていても仕方がないので、ノートをカバンにしまうと私は席を立った。窓を閉める。風が止む。
部室を出ると、賑やかな校舎が私を迎えてくれた。いつの間にか部室棟にも人がたくさん、窓からは優しい太陽の光、そろそろ授業が始まるようだ。
「よし、元気出していこっと」
私は小さく呟いた。
第7話、おわり
参考文献① : 笹部貞市郎『定理公式証明辞典』
参考文献② : 結城浩『数学ガール』
参考文献③ : 4次方程式-オイラーの解法
参考文献④ : 3次方程式の解の公式(カルダノの公式)