数３微分公式まとめ

数３における微分公式のまとめです。
様々な微分計算の基本となるのでしっかり暗記しましょう！
ある関数の微分を導関数と言います。

基本関数の微分公式

xのα乗の導関数

$$
\begin{align*}
({x}^{\alpha})' &= \alpha{x}^{\alpha-1} \\
(\sqrt{x})' &= \frac{1}{2\sqrt{x}} \\
\left(\frac{1}{x}\right)' &= -\frac{1}{x^2}
\end{align*}
$$

三角関数の導関数

$$
\begin{align*}
(\sin{x})' &= \cos{x} \\
(\cos{x})' &= -\sin{x} \\
(\tan{x})' &= \frac{1}{\cos^2{x}} \\
\left(\frac{1}{\tan{x}}\right)' &= -\frac{1}{\sin^2{x}}
\end{align*}
$$

指数関数の導関数

$$
\begin{align*}
(e^x)' &= e^x \\
(a^x)' &= a^x\log{a}
\end{align*}
$$

$${a=e}$$の時一致していることを確認しましょう。

対数関数の導関数

$$
\begin{align*}
(\log{x})' &= \frac{1}{x} \\
(\log_a{x})' &= \frac{1}{x\log{a}} \\
(\log{|x|})' &= \frac{1}{x} \\
(\log_a{|x|})' &= \frac{1}{x\log{a}}
\end{align*}
$$

微分計算における重要公式

積の導関数 （掛け算の微分）

$$
\begin{align*}
(f(x)g(x))' &= f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
\end{align*}
$$

逆数の導関数

$$
\begin{align*}
\left(\frac{1}{f(x)}\right)' &= -\frac{f'(x)}{(f(x))^2}
\end{align*}
$$

商の導関数 （割り算の微分）

$$
\begin{align*}
\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' &= \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}
\end{align*}
$$

合成関数の導関数

$$
\begin{align*}
(f(g(x)))' &= f'(g(x))g'(x) \\
\frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}
\end{align*}
$$

媒介変数の導関数

$$
\begin{align*}
\frac{dy}{dx} &= \frac{dy/dt}{dx/dt}
\end{align*}
$$

逆関数の導関数

$$
\begin{align*}
\frac{dy}{dx} &= \frac{1}{dx/dy}
\end{align*}
$$

微分計算の重要公式を使うことで様々な微分計算を基本関数の微分に帰着させることができます！
計算練習をたくさんして微分に慣れていきましょう！