【海城中学校2020年度入試算数第3問】平行な線で比率を求める
今回は海城中学校2020年度入試の算数第3問を取り上げたいと思います。割とよくあるタイプの面積比を出す問題です。
海城高等学校・中学校、
2008年1月19日、陸の王者撮影、Wikipediaより
[問題] 三角形 ABC において，下の図のように，各辺を三等分した点を結んで図形を作ります。次の問いに答えなさい。
(1) 三角形 HEF の面積は，三角形 ABC の面積の何倍ですか。
(2) 三角形 RFG の面積は，三角形 ABC の面積の何倍ですか。
(3) 四角形 PQRS の面積は，三角形 ABC の面積の何倍ですか。
[問題終わり]
今回の問題は三角形の面積を基準に他の面積を比率として求めさせようとしていますが、こういう場合、基準となる三角形の底辺と高さをどこに置くかがカギとなります。そして、底辺と高さの比率を求めることで面積の比率を求めるのが標準的な解き方になります。
今回で言えば辺 BC を底辺にして高さを考えていきます。高さについては辺 AB に対する比率でも 辺 AC に対する比率でも高さの比率が求まることに注意してください。
さて、そう考えると (1) は簡単に求まります。EH と BC は平行で、AE : EH = 2 : 1 であるので、EH = (2/3) × BC となります。また、同じく AE : EH から EH を底辺と見なすと高さは 1/3 になっているので、(2/3) × (1/3) = 2/9 倍となります。
(2) は一本の辺を追加して考えます。
辺 FG は (1/3) × BC となっているので、問題は高さですが、IH : HC = 1 : 1 であるので、ET = TP = PS = SH となります。したがって、HS : ST = 1 : 2 ということで、SR : RG = 1 : 2 となります。ということで、辺 FG を底辺とした三角形 RFG の高さは辺 BC を底辺とした三角形 ABC の高さの (1/3) × (2/3) = 2/9 倍となるので、三角形 RFG の面積は三角形 ABC の (1/3) × (2/9) = 2/27 倍となります。
(3) は、三角形 GPS から三角形 GQR を引くことで求めます。三角形 GQR の面積は、(2) の三角形 RFG から 三角形 QFG を引くことで求められます。ここで、点 Q は GP の中点(真ん中の点)、点 S は PH の中点となるので、三角形 GPS の面積は三角形 ABC の面積の (1/3) × (1/2) × (1/3) = 1/18 倍、三角形 QFG の面積は三角形 ABC の面積の (1/3) × (1/3) × (1/2) = 1/18 倍となります。
よって、四角形 PQRS = 三角形 GPS - (三角形 RFG - 三角形 QFG) = 三角形 GPS - 三角形 RFG + 三角形 QFG = ((1/18) - (2/27) + (1/18)) × 三角形 ABC = 1/27 × 三角形 ABC ということで、1/27 倍になります。
さて、この問題では (2) において SR : RG を求める必要がありましたが、実はある特徴的な図形が登場していて、メネラウスの定理を使うことができます。
メネラウスの定理
上の図において、(AF/FB) × (BD/DC) × (CE/EA) = 1 である。
証明は次のように点 C を通り辺 DF に平行な直線を引きます。
すると、
(AF/FB) × (BD/DC) × (CE/EA) = (AF/FB) × (BF/FG) × (GF/FA) = 1
となります。
今回の問題にメネラウスの定理を使うと、(GQ/QP) × (PH/HS) × (SR/RG) = 1 × 2 × (SR/RG) = 1 から SR/RG = 1/2 が求まります。
メネラウスの定理は知らなくても何も困らないかもしれませんが、知っているとかなり便利なので、余力があれば覚えておくといいでしょう。
また、点 R は三角形 GPH の重心になっていることに気がついた人もいるかもしれません。
三角形ABCの重心
点Aと辺BCの中点P、点Bと辺CAの中点Q、点Cと辺ABの中点Rをそれぞれ結ぶ辺は1点Gで交わり、この点を重心と呼ぶ。また、AG : GP = BG : GQ = CG : GR = 2 : 1 である。
このことを知っている人も SR : RG = 1 : 2 がすぐに分かったかもしれません。
このように、図形の性質をいろいろと知っていると話が簡単になることがあるので、あくまで「興味があって余力があれば」覚えておくのもいいと思います。
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