【京都大学2021年度前期入試数学(理系)第4問】これを難しいと言っていいのかな？

京都大学(理系)の4回目、曲線の長さを求める問題です。技術的には一番込み入った問題ですが、このくらいは普通だと思うのですが…

京都大学　百周年時計台記念館
2015年5月5日、Soraie8288撮影、Wikipediaより

問題

曲線 y = log (1 + cos x) の 0 ≦ x ≦ π/2 の部分の長さを求めよ．

解答解説

求める長さは

であるので、まずは dy/dx を求めてみます。

0 ≦ x ≦ π/2 のとき cos (x/2) > 0 であることから、

となります。したがって、次のように答えが得られます。

(0 ≦ x/2 ≦ π/4 より 0 ≦ sin x/2 ≦ 1/√2 であるので、1 - sin x/2 > 0 かつ 1 + sin x/2 > 0 であることに注意)

感想

答えとしては 2 log (√2 + 1) の他に、log (3 + 2√2) などが考えられます。その辺は同じ値であれば何でもいいと思います。

(sin π/4 = √2/2 とした場合、後者の答えが出てきそうです。)

この問題も基本的な技術のみで解けます。しいて言えば根号の中の計算が面倒ですが、このくらいは苦なく処理してもらわないと困ります。

私が受験生の頃であればこの程度の問題は基本問題の範疇ですが、ここまでの 4問を見ると応用問題の位置づけなのでしょうか？だとするとガッカリです。