エルミート行列の固有値など

$${A}$$はエルミート行列とする．すなわち，$${A}$$は$${A^{*}=A}$$を満たすとする．

固有値は実数

このとき，$${A}$$の固有値は実数であることを示そう．

$${\lambda}$$を$${A}$$の固有値とし，$${\bm{x}}$$を$${\lambda}$$に対する固有ベクトルとする．$${A\bm{x}=\lambda\bm{x}}$$を満たすから，次の式変形をする．$${\bm{a}, \bm{b}\in \mathbb{C}^{n}}$$に対し，$${\langle \bm{a},\bm{b} \rangle:=\bm{a}^{*}\bm{b}}$$をエルミート内積とする．

$$
\lambda \langle \bm{x}, \bm{x} \rangle=\langle \bm{x}, \lambda\bm{x} \rangle=\langle \bm{x}, A\bm{x} \rangle=\langle A^{*}\bm{x}, \bm{x} \rangle=\langle A\bm{x}, \bm{x} \rangle=\langle \lambda\bm{x}, \bm{x} \rangle=\lambda^{*}\langle \bm{x}, \bm{x} \rangle
$$

となるから，$${(\lambda-\lambda^{*})\langle \bm{x}, \bm{x}\rangle=0}$$となる．$${\bm{x}\neq \bm{0}}$$は固有ベクトルであり，内積の非退化性から，$${\langle \bm{x}, \bm{x}\rangle\neq 0}$$となり，これで両辺を割ると，$${\lambda-\lambda^{*}=0}$$を得る．故に，$${\lambda=\lambda^{*}}$$となる．

問題

他にも，「ユニタリ行列で対角化可能である」という性質があるが，ここでは置いておいて，次の問題を見てみることにする．

$${A}$$をエルミート行列とする．また，ある$${\bm{x}\in \mathbb{C}^{n}\setminus\{\bm{0}\}, k\in \mathbb{N}}$$が存在して，$${A^{k}\bm{x}=\bm{0}}$$となるとする．このとき，$${A}$$は$${0}$$を固有値に持つことを示せ．

少し考えて，次の補題を示せばよいことが分かる．任意の$${l\in \mathbb{N}}$$に対し，$${A^{2^{l}}\bm{x}=\bm{0}}$$ならば，$${A^{2^{l-1}}\bm{x}=\bm{0}}$$となることを示す．

$$
\langle A^{2^{l-1}}\bm{x}, A^{2^{l-1}}\bm{x}\rangle=\langle \bm{x}, (A^{2^{l-1}})^{*}A^{2^{l-1}}\bm{x}\rangle=\langle \bm{x}, A^{2^{l}}\bm{x}\rangle=\langle \bm{x}, \bm{0}\rangle=0
$$

となる．内積の非退化性から，$${A^{2^{l-1}}\bm{x}=\bm{0}}$$となる．

仮定から，ある$${\ell\in \mathbb{N}}$$が存在して，$${2^{\ell}>k}$$となるから，$${A^{2^{\ell}}\bm{x}=A^{2^{\ell}-k}A^{k}\bm{x}=A^{2^{\ell}-k}\bm{0}=\bm{0}}$$となる．上の補題を繰り返し用いると，$${A\bm{x}=\bm{0}}$$が示される．これは，$${A}$$が$${0}$$固有値を持つこと示している．

簡単な事実であるが，少し不思議である．