[ ウォリスの公式 ] 掛け算を繰り返すだけで正確に円周率を求める
[サイトマップを見る ]
円周率とは
直径が１の円があるとします。この円の周りは $${3.14159265359 \cdots}$$ です。この値のことを円周率といいます。
アルキメデスの近似値
アルキメデス（紀元前287年 - 212年）は円周率は $${\frac{223}{71} }$$ より大きく，$${\frac{22}{7}}$$ より小さいと考えました。
$$
\frac{223}{71} < \pi < \frac{22}{7}
$$
すると，$${\pi}$$ はだいたい 3.14 ということになります。私たちが学校でならった 3.14 と同じですね。
ウォリスの公式
ウォリスは西暦 1616年 - 1703 年の間生きた数学者です。ウォリスは正確に円周率を求める方法を発見しています。
$$
\prod_{n=1}^\infty \lparen \frac{2n \cdot 2n}{2n-1 \cdot 2n+1 } \rparen
$$
一見すると，ぎょっとするような公式ですね。しかし，やっていることは次のとおり単純です。
$$
2 \pi = \frac{2 \times 2}{1 \times 3} \times \frac{4 \times 4}{3 \times 5} \times \frac{6 \times 6}{5 \times 7} \times \frac{8 \times 8}{7 \times 9} \cdots
$$
この計算を続ければ続けるほど，$${3.14159265359 \cdots}$$に近づきます。すごい。
Python で計算
しかし，何回くらい計算したらいいのでしょう。Python でウォリスの公式を実装して実際に計算してみましょう。以下は 10回，100回，1000回，10000回計算した場合に得られる値です。
10回 ---- 3.0677038066434976
100回 --- 3.1337874906281584
1000回 -- 3.140807746030388
10000回 - 3.1415141186819215
100000回 - 3.141584799657313
1000000回 - 3.1415918681924677
10000回続けると，3.1415 までは計算できるようです。しかし，次の3.14159 まで正確に求めるには，1000000回も計算する必要があります。しかし，ずっとずっと続けていけば，どんどん精度は増していきます。
あんな単純な公式から円周率を正確に求められるなんて，とてもすばらしいですね。
Python のコード
import sys
n = int(sys.argv[1])
numerator = 2
pi = 1
for i in range(n):
pi = pi * ( numerator * numerator ) / ( (numerator - 1) * (numerator + 1) )
numerator = numerator + 2
print(pi*2)
[ サイトマップを見る ]