[ 数学 ] a²-a+2ab+b²-bが素数となるような a, b をすべて求めよ | 鹿児島大学
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問題
$${a^2 − a + 2ab + b^2 − b}$$ が素数となるような a, b をすべて求めよ。
準備
素数の定義: 1とその数自身以外に正の約数をもたない自然数を素数という。
説明
説明のために，$${a^2 − a + 2ab + b^2 − b}$$ を p とおきます。p は素数ですから、p の約数は 1 と p になるはずです。p を因数分解すると、$${(a+b)(a+b-1)}$$ となり、a, bは自然数なので、$${(a+b) \ge 2}$$, $${(a+b-1) \ge 1}$$ が成り立ちます。 したがって、$${(a+b)}$$ か $${(a+b-1)}$$ のいずれかが1になるはずです。
(a+b) = 1の場合: a, bは自然数なので、この場合はありえません。
(a+b-1) = 1の場合: a+b = 2 より、a = b = 1 となります。
よって、a = 1, b = 1 のとき、p = 2 となり、素数となります。
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