[ 解答 ] 2023個のフィボナッチ数列，2の倍数はいくつある？ | 栄東中学校

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問題

「となり合う２つの数を加えて次の数をつくる」という規則で，下のように整数が2023個並んでいます。

$$
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \cdots
$$

(1) 2の倍数は何個ありますか。

準備

• 偶数　2で割り切れる数。

• 奇数　2で割り切れない数。

割り切れる，割り切れないは，あまりがゼロになるか，ならないかで決まります。

• 2 を 2 で割ると，余りは 0。2 は偶数です。

• 3 を 2 で割ると，余りは 1。3は奇数です。

奇数とは2で割り切れない数，偶数とは２で割り切れる数のことをいいます。整数は偶数か奇数かのいずれかです。

解答

上のフィボナッチ数列を偶数，奇数の列としてみると，次のように書き直せます。

奇数，奇数，偶数，奇数，奇数，偶数，奇数，奇数，

（１）規則性を探す

ここで偶数が3番目，6番目に出てくることがわかります。もしかしたら，3の倍数番目は必ず偶数になるのかもしれません。

（２）規則性を確かめる

しかし，たまたま3番目と6番目に出てきているだけで，9番目にでてくるかどうかは今のところわかりません。もうすこし考えてみましょう。

割り切れる，つまり偶数になるのは，1つ前が偶数，２つ前が偶数のときだけです。

$$
奇数＋奇数＝偶数
$$

$$
奇数＋偶数＝奇数
$$

$$
偶数＋奇数＝奇数
$$

奇数，奇数，とくれば，奇数＋奇数で偶数。つぎは，奇数になることはわかりますか。奇数＋偶数だからです。すると，次には，奇数になります。偶数＋奇数だからでね。ここで，また，奇数＋奇数に戻ります。するとまた同じことの繰り返しです。

今，偶数，奇数という書き方をしましたが，2で割った余りで考えたほうがわかりやすいでしょう。

$$
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \cdots
$$

1 を 2 で割ると余りは1 です。2を2で割ると余りは0です。2で割った余りで考えると，上の数列は以下の数列になります。

$$
1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, \cdots
$$

となります。1番目の余り1と2番目の余り1を足すと，余りは2になります。2で割るのですから，結局余りは0になります。3番目の余りは0です。2番目の余り1と3番目の余り0を足すと，4番目の余りは1になります。3番目の余り0と4番目の余り1を足すと，5番目の余りは1になります。これを繰り返すと，再び，余り1と余り1を足し合わせる場合がやってきます。すると以降同じことが繰り返されます。

$$
1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1,0 \cdots
$$

以上のように，たまたま3番目と6番目に偶数が出てきたわけでなく，9番目にもできてきますし，もちろん，3 の倍数番目に必ずでてくることがわかりました。1000個のフィボナッチ数列の場合でも 10000 個の場合でも，一度見つけたサイクル，何回に1度現れるかはずっと繰り返されることがわかります。

より学びたい方

わたしが好きな先生です。
中学2年生くらいから読むことができます。

• 遠山啓「数の不思議」（SB Creative）

小学校6年生の算数の知識があれば，読み始められます。

• 吉田 信夫 (著)「ガウスとオイラーの整数論の世界」（技術評論社）

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