[ 数学 ] 2以上の自然数n に対し，n と p²+2 がともに素数になるのは n=3 の場合に限ることを示せ | 京都大学
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問題
2以上の自然数n に対し，n と p²+2 がともに素数になるのは n=3 の場合に限ることを示せ。
準備部分
3より大きい素数は、3で割り切れません。
証明部分
「2以上の自然数n に対し」と書いてあるので，n=2 の場合から考えていきましょう。
$${n=2}$$ のとき，$${n}$$ と $${n^2+2}$$ は 2 と 6 です。6 は素数ではありません。
$${n=3}$$ のとき，$${n}$$ と $${n^2+2}$$ は 3 と 11 ですから，ともに素数です。
以上より，n が 3 以下のとき，$${n}$$ と $${n^2+2}$$ がともに素数になるのは $${n=3}$$ の場合に限ります。この問題では，n が 3 より大きいときに，$${n}$$ と $${n^2+2}$$ がともに素数にはならないことを示せばいいことになります。
3より大きい任意の素数nは、3で割った余りが1または2であるため、次の2つの場合に分けられます。
場合1: n=3m+1 (mは整数) のとき $${n^2+2 = (3m+1)^2 + 2 = 9m^2 + 6m + 3 = 3(3m^2 + 2m + 1) }$$これは3の倍数なので、素数ではありません。
場合2: n=3m+2 (mは整数) のとき $${n^2+2 = (3m+2)^2 + 2 = 9m^2 + 12m + 6 = 3(3m^2 + 4m + 2) }$$これも3の倍数なので、素数ではありません。
まとめ
nが3より大きいとき、$${n}$$または$${n^2+2}$$は必ず3の倍数となり、素数にはなりません。 したがって、$${n}$$と$${n^2+2}$$がともに素数となるのは、$${n=3}$$の場合に限ります。
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