[ 解答 ] [ 続き ]2023個のフィボナッチ数列，2の倍数はいくつある？ | 栄東中学校

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問題

「となり合う２つの数を加えて次の数をつくる」という規則で，下のように整数が2023個並んでいます。

$$
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, \cdots
$$

(1) 2の倍数は何個ありますか。

以前，記事に書いた栄東中学校の入学試験問題には続きがあります。

(2) 5の倍数は何個ありますか。
(3) 40 の倍数は何個ありますか。

(2) については，以前説明した記事のとおりにすれば解けるでしょう。

問題は (3) です。

解法

3 以上で割り切れる数が，何回に１回現れるか調べてみました。1番目から1000番目までのフィボナッチ数列について調べています。以下，a -> b となっていますが，これは a で割り切れる数が，b 回に１回現れることを表しています。

2 -> 3
3 -> 4
4 -> 6
5 -> 5
6 -> 12
7 -> 8
8 -> 6
9 -> 12
10 -> 15
11 -> 10
12 -> 12
13 -> 7
14 -> 24
15 -> 20
16 -> 12
17 -> 9
（省略）

上では 40 が省略されていますが，40 の倍数は何回に１回現れるでしょう。40 は $${5 \times 8}$$です。5 -> 5，8 -> 6　ですから，$${5 \times 6}$$ で求めることができます。30 回に１回現れます。

2023個ある数列に 30 回に１回あらわれるのですから，$${\frac{2023}{30}=67.4\cdots}$$で答えは67回です。

40 は $${5 \times 8}$$と考えるときに注意が必要です。一般化して書くと，$${x \times y}$$ のとき，x と y は1以外に同じ約数をもってはいけません。ですから，40 を$${5 \times 8}$$とかけますが，$${4 \times 10}$$と書いてはいけません。

より学びたい方

わたしが好きな先生です。
中学2年生くらいから読むことができます。

• 遠山啓「数の不思議」（SB Creative）

小学校6年生の算数の知識があれば，読み始められます。

• 吉田 信夫 (著)「ガウスとオイラーの整数論の世界」（技術評論社）

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