[ 数学 ] 自然数nで、n²-1が素数であるものをすべて求めなさい。
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問題
自然数nで、$${n^2-1}$$が素数であるものをすべて求めなさい。
素数は、約数が1と自分自身しかない数のことです。$${n^2-1}$$ は$${(n+1)(n-1)}$$と因数分解できます。
もし、$${n^2-1}$$が素数だとすると、$${(n+1)(n-1)}$$のどちらかが$${1}$$で、もう一方が$${n^2-1}$$になるはずです。
(1) n+1=1の場合 n=0となり、nは自然数という条件に反します。
(2) n-1=1の場合 n=2となり、$${n^2-1=3}$$となり、3は素数です。
(1)、(2)より、$${n^2-1}$$が素数となるのは、n=2の場合のみです。
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