数検1級 ★3 二階線形微分方程式

問題

次の微分方程式を解きなさい

$$
\dfrac{d^2y}{dx^2}+4y=cos2x
$$

解答

$${\dfrac{d^2y}{dx^2}+4y=cos2x\cdots①}$$

①の同伴方程式は$${y''+4y=0\cdots②}$$
これの特性方程式を解くと$${λ^2+4=0\Leftrightarrow λ=±2i}$$となり、$${e^{2ix},e^{-2ix}}$$が基本解$${y_1,y_2}$$になる。ここでオイラーの公式$${e^{iθ}=cosθ+isinθ}$$より、

$$
y_1=e^{2ix}=cos2x+isin2x\\　
\\y_2=e^{-2ix}=cos2x-isin2x
$$

となる。ここで、基本解の線形結合は必ず解になるので、改めて基本解を$${z_1,z_2}$$とすると

$$
z_1=\dfrac{1}{2}(y_1+y_2)=cos2x\\　\\z_2=\dfrac{1}{2i}(y_1-y_2)=sin2x
$$

が得られるので②の一般解は

$$
C_1cos2x+C_2sin2x
$$

になる。次に①の特殊解$${α(x)}$$を求めていく。

$$
α(x)=-z_1\int\dfrac{z_2cos2x}{W(z_1,z_2)}dx+z_2\int\dfrac{z_1cos2x}{W(z_1,z_2)}dx
$$

ここで、ロンスキー行列$${W(z_1,z_2)}$$を求めると

$$
W(z_1,z_2)=\begin{vmatrix}z_1&z_2\\z_1'&z_2'\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}cos2x&sin2x\\-2sin2x&2cos2x\end{vmatrix}=2cos^22x+2sin^22x=2
$$

よって特殊解$${α(x)}$$は

$$
\begin{split}
α(x)&=-cos2x\int\dfrac{sin2x\cdot cos2x}{2}dx+sin2x\int\dfrac{cos2x\cdot cos2x}{2}dx\\　\\
&=-cos2x\int \dfrac{1}{4}\,2sin2x\,cos2x\,dx+\dfrac{1}{2}sin2x\int cos^22x\,dx\\　\\
&=-\dfrac{1}{4}cos2x\int sin4x\,dx+\dfrac{1}{2}sin2x\int\dfrac{1+cos4x}{2}\,dx\\　\\
&=-\dfrac{1}{4}cos2x\cdot\Bigl(-\dfrac{1}{4}cos4x\Bigl)+\dfrac{1}{4}sin2x\Bigl(x+\dfrac{1}{4}sin4x\Bigl)\\　\\
&=\dfrac{1}{16}cos2x\cdot cos4x+\dfrac{1}{4}xsin2x+\dfrac{1}{16}sin2x\cdot sin4x\\　\\
&=\dfrac{1}{16}cos(4x-2x)+\dfrac{1}{4}xsin2x\\　\\
&=\dfrac{1}{16}cos2x+\dfrac{1}{4}xsin2x
\end{split}
$$

以上から①の一般解は

$$
\begin{split}
y&=C_1cos2x+C_2sin2x+\dfrac{1}{16}cos2x+\dfrac{1}{4}xsin2x\\
&=\Bigl(C_1+\dfrac{1}{16}\Bigl)cos2x+\Bigl(C_2+\dfrac{1}{4}x\Bigl)sin2x
\end{split}
$$

ここで改めて$${C_1+\dfrac{1}{16}}$$を$${C_1}$$と置くと

$$
y=\underline{C_1cos2x+\Bigl(C_2+\dfrac{1}{4}x\Bigl)sin2x}　(C_1,C_2は任意定数)
$$

微分方程式は以下のサイトにまとまってる

微分方程式(ページ2) | 工業大学生ももやまのうさぎ塾