ポアソン分布の期待値と分散

　ポアソン分布の期待値と分散の計算とその導出を取り上げます。期待値と分散は以下のように計算します。確率変数$${X}$$がポアソン分布に従う場合

$$
E(X)=λ\\
V(X)=λ
$$

なんと期待値、分散ともに$${λ}$$になります。楽ですね。

期待値の導出

定義から攻めます。

$$
\begin{split}
E(X)&=\sum_{k=0}^{\infty} kP(X=k)\\
&=\sum_{k=0}^{\infty}k\dfrac{λ^ke^{-λ}}{k!}\\
&=\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{λ^ke^{-λ}}{(k-1)!}\\
&=λ\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{λ^{k-1}e^{-λ}}{(k-1)!}\\
\end{split}
$$

ここで、ポアソン分布は確率質量関数であるので

$$
\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{λ^{k}e^{-λ}}{k!}=1
$$

が成り立つ。(確率は全部足したら1ですよね)
よって

$$
λ\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{λ^{k-1}e^{-λ}}{(k-1)!}=λ
$$

分散の導出

分散の式$${V(X)=E(X^2)-(E(X))^2}$$を用いて計算します。$${E(X)}$$はさっき導出したので$${E(X^2)}$$を計算します。

$$
\begin{split}
E(X^2)&=\sum_{k=0}^{\infty} k^2P(X=k)\\
&=\sum_{k=0}^{\infty} k^2\dfrac{λ^ke^{-λ}}{k!}\\
&=\sum_{k=0}^{\infty} (k(k-1)+k)\dfrac{λ^ke^{-λ}}{k!}\\
&=\sum_{k=0}^{\infty} k(k-1)\dfrac{λ^ke^{-λ}}{k!}+\sum_{k=0}^{\infty} k\dfrac{λ^ke^{-λ}}{k!}\\
&=\sum_{k=2}^{\infty} \dfrac{λ^ke^{-λ}}{(k-2)!}+\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{λ^ke^{-λ}}{(k-1)!}\\
&=λ^2\sum_{k=2}^{\infty} \dfrac{λ^{k-2}e^{-λ}}{(k-2)!}+λ\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{λ^{k-1}e^{-λ}}{(k-1)!}\\
&=λ^2+λ
\end{split}
$$

よって分散は

$$
\begin{split}
V(X)&=E(X^2)-(E(X))^2\\
&=λ^2+λ-λ^2\\
&＝λ
\end{split}
$$

これにて期待値と分散の計算ができました。